Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
По той же причине они будут пересекаться в 2р точках, сколь бы велико ни было \ пока будут существовать две траектории (Г) и (Т').
Свойства решений второго рода
301
376. Во всех рассуждениях предыдущего пункта предполагается, что речь идет об абсолютном движении.
Желая распространить их на случай относительного движения, мы столкнулись бы с затруднениями, которые без сомнения не являются непреодолимыми, но которые я не пытаюсь преодолеть.
Прежде всего, следовало бы видоизменить построение, употребленное в предыдущем пункте.
Вместо проведения перпендикуляров МР и М$ к М1С1 и МП следовало бы сделать вот что. Например, для построения МР мы построим бесконечно малый круг, удовлетворяющий следующим условиям: он пересекает М1С1 в Р и касается в этой точке прямой МР\ прямая, которая соединяет М с центром, должна иметь заданное направление и быть в заданном отношении к радиусу. Построенная таким образом прямая МР обладает теми же свойствами, что и нормаль в абсолютном движении. К сожалению, это построение в некоторых случаях может привести к затруднению.
Кроме того, действие (ММХ) не всегда положительно; если бы оно стало нулем, то рассуждение оказалось бы опять несостоятельным; максимум или минимум мог бы быть достигнут в такой точке М, что действие (ММг) было бы нулем, и при этом без необходимости слияния дуг МС и ПМ.
Следовательно, наши рассуждения приложимы к случаю относительного движения, только если действие остается положительным вдоль всей траектории (Г).
Во всех случаях остается верным один из выводов: замкнутая траектория (Г') существует всегда, поскольку если рассуждение предыдущего пункта теряет силу, то этого не происходит с рассуждениями глав XXVIII и XXX; кроме того, (71') пересекает (Г) в 2р точках и имеет р(/с+1)/2 или р{к-{-2)12 двойных точек.
Это верно для малых значений X, но я не могу больше заключить, что это останется справедливым, каким бы ни было ибо две траектории могут касаться, не сливаясь, лишь бы они пробегались в противоположных направлениях.
Устойчивость и неустойчивость
377. Предположим, что имеется только две степени свободы; два характеристических показателя равны нулю, два других равны и противоположны по знаку.
Уравнение, имеющее корни
屓г,
является уравнением второго порядка, коэффициенты которого вещественны (Т представляет собой период, а а — один из характеристических показателей).
Следовательно, эти корни вещественные или комплексные сопряженные.
302
Новые методы небесион механики. III
Если они вещественные и положительные, то а — вещественные, и периодическое решение неустойчиво.
Если они комплексные, то а — комплексные сопряженные; так как их произведение равно +1, то а — чисто мнимые, и периодическое решение устойчиво.
Если они вещественные и отрицательные, то а — комплексные, причем мнимая часть равна 1^1 Т\ периодическое решение опять неустойчиво.
При этом они не могут быть вещественными и иметь противоположные знаки, поскольку их произведение равно +1.
Следовательно, имеется два типа неустойчивых решений, соответствующих двум предположениям
е’г’>0, еаГ < 0.
Переход от устойчивых решений к неустойчивым решениям первого типа совершается через значение
а = 0,
Переход от устойчивых решений к неустойчивым решениям второго типа совершается через значение
—.
378. Изучим сначала переход к неустойчивым решениям первого типа В момент перехода мы имеем
е*г=1.
Возьмем снова количества р* и ф*, определенные в главе III, и рассмотрим уравнение
й34 <*?4
это уравнение имеет корни
0, 0, — 1, с--т — 1.
<*?! <^3
й<]>2 о йфг
^2 ° <*Р3
Щя
с2р3
«гФ4 <*Ф4 ^Ф4
й$2,
= 0:
(1)
В момент перехода эти четыре корня становятся нулями.
Однако прежде чем изучать этот простой случай, когда мы имеем дело с уравнениями динамики с двумя степенями свободы и когда мы
Свойства решений второго рода
303
предполагаем, что функция Р не зависит явно от времени и что, следовательно, уравнения допускают интеграл живых сил /’=сопз1, прежде чем изучать, говорю я, этот простой случай, нам следует, может быть, остановиться на мгновепие на еще более простом случае.
Пусть Р — какая-нибудь функция от х, у и ?, периодическая с периодом Т относительно ?; рассмотрим канонические уравнения
это уравнения динамики с одной-единственной степенью свободы; но так как F зависит от t, то они не допускают уравнения живых сил Р=const.
Предположим, что уравнения (2) допускают периодическое решение с периодом Т. Характеристические показатели будут нам заданы следующим уравнением, аналогичным (1)
Оба эти корня становятся нулями в момент перехода.
Предположим, что Р зависит от некоторого параметра р и что при р=0 два корня уравнепия (3) будут нулями. Функции фх и ф2 будут зависеть не только от рх и р2, но и от р. Мы будем предполагать, что Р разложима по степеням р и что, следовательно, ф! и ф2 разложимы по степеням .8,, Ра И р.
Периодические решения будут заданы уравнениями
При р=0, рх= р2=0 функциональный определитель от ф по р есть нуль; но, вообще говоря, четыре производных не обратятся в нуль
