Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
одновременно. Предположим, например, что
мы найдем из первого уравнения (4) ^ в виде ряда, расположенного по степеням Ра и р, и подставим во второе уравнение (1). Пусть
dx dF dy dF
dt dy * idt dx ’
(2)
d+2 d+2 С
dh dp2
(3)
которое имеет корпи
елТ— 1, — 1.
Фг=0-
(*>
?(р2, р) = 0
(5)
304
Новые методы небесной механики. III
— результат подстановки. Так как функциональный определитель равен нулю, то мы получим
<гр, и-
однако необходимо различать два случая.
1. Производная не равна нулю, или, другими словами, функциональный определитель от и по Рх и Р не нуль.
В этом случае, если смотреть на Рз и р. как на координаты точки на плоскости, кривая, представленная уравнением (5), будет иметь в начале координат обыкновенную точку, в которой касательной будет прямая
Р=0.
Вообще говоря, вторая производная
~ЩГ
не будет нулем, т. е. начало не будет точкой перегиба для кривой (5).
Если мы пересечем прямой ц= р0, где [л0 — достаточно малая постоянная, то в зависимости от знака мы сможем иметь две точки пересечения этой прямой с кривой (5) в окрестности начала или же ни одной.
Если, например, кривая лежит над своей касательной, мы будем иметь при [л0 > 0 Два пересечения и, следовательно, два периодических решения, при Но "С О мы не получим ни одного.
Таким образом, мы видим, что два периодических решения приближаются друг к другу, сливаются, затем исчезают.
Рассмотрим две точки пересечения прямой р=ро с кривой (5); они будут соответствовать двум последовательным корням уравнения (5) и, следовательно, двум значениям противоположных знаков производной а значит, двум значениям противоположных знаков функционального определителя ОТ ПО р, т. е. произведения
(е°т — 1) (е-*т — 1) = 2 — — е-~г,
т. е. а2.
Итак, из двух периодических решений, которые сливаются и, таким образом, исчезают, одно всегда устойчиво, а другое — неустойчиво.
2. Производная й>Е/йр=0, или, другими словами, функциональный определитель ОТ <)>! И ПО Рх и ц есть нуль.
Тогда кривая (5) имеет в начале особую точку, которая, вообще говоря, будет обыкновенной двойной точкой.
Так как две ветви кривой пересекаются в начале, то прямая р=р0 всегда встретит кривую в двух точках; следовательно, мы будем иметь два периодических решения, каков бы ни был знак ц„.
Две ветви кривой определяют в окрестности начала четыре области; в двух из этих областей, противоположных друг другу относительно вершины, Т будет положительным; в двух других — отрицательным.
Свойства решений второго рода
305
Пусть ОР» ОР2, ОР3, ОР± — четыре полуветви, которые сходятся в начале; ОРх будет продолжением ОР3, а ОР2 —- продолжением ОР» ОРх и ОР2 будут соответствовать ц0 >? 0; ОРа и ОР± — рд <С 0; функция Т будет положительной внутри углов РхОР2, Р3ОРА и отрицательной внутри углов Р2ОР3, РхОР4.
Мы только что видели, что устойчивость зависит от знака производной й\Р7й|32; в таком случае, когда мы пересекаем, например, ОР» функция Т- переходит от отрицательных значений к положительным; производная будет положительной, и решение будет, например, устойчивым; оно будет также устойчивым, когда мы будем пересекать ОР» неустойчивым, когда .мы будем пересекать ОР2 или ОР3.
Периодические решения, соответствующие ОР» устойчивы, и они являются аналитическим продолжением периодических решений, которые соответствуют ОР3 и являются неустойчивыми.
Обратно, периодические решения, соответствующие ОР2 и являющиеся неустойчивыми, представляют собой аналитическое продолжение периодических решений, которые соответствуют ОРЦ и устойчивы.
Следовательно, мы имеем два аналитических ряда периодических решений, которые сливаются при р-=0, и в этот момент эти два ряда обмениваются своей устойчивостью.
Мы только что изучили два наиболее простых случая, но может представиться масса других случаев, соответствующих различным особенностям, которые может иметь в начале кривая (5).
Но, каковы бы ни были эти особенности, мы увидим, что из начала во все стороны расходится четное число полуветвей кривых, а именно, р со стороны (1 >0 и (/ — со стороны ц <С 0. Предположим, что малый круг, описанный около начала, встречает их в следующем порядке:
ОР» 0Р2 орр+я.
Пусть
ОР» ОР2 ОРр (6)
— полуветви, соответствующие ц > 0, а
ОРр^ ОРр+2 ОРр,я (7)
— полуветви, соответствующие р <С 0.
Тогда полуветви (6) соответствуют, чередуясь, устойчивым периодическим решениям и неустойчивым решениям; я буду говорить для краткости, что эти полуветви поочередно устойчивы или неустойчивы.
То же относится и к полуветвям (7).
С другой стороны, ОРр и ОРр+1 — обе устойчивы или обе неустойчивы.
То же относится, следовательно, и к ОРр+д и ОР»
20 А- Пуанкаре, т. II
306
Новые методы небесной механики. III
Итак, пусть р' и р” — число устойчивых полуветвей и число неустойчивых полуветвей при р > 0, так что
р'+р"=р-
Пусть д' и д" — соответствующие числа при ц < 0, так что
*'+*"=??
Тогда имеются только три возможных предположения:
р' = р", д' == д",
р'=р"+1, д' = д"+1,
р' = р"—1, д7 = д" — 1.
Во всех случаях мы имеем
