Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Первый член W, который не приводится к степени иг, имеет вид
pfc+2 [A cos (к + 2) <Р + В\
и происходит от 0*н2.
Функция, максимумы и минимумы которой нам нужно изучить и которая должна играть роль функции
U0 + zU^ = ff{i)-zf, изученной на стр. 219, эта функция, говорю я, будет вида
^4pfc+2 cos (к -f- 2) tp -)- Рр4 — zp2,
где Р — целый полином относительно р2 с постоянными коэффициентами.
Мы оставили в стороне частные случаи, когда знаменатель п равен 2, 3 или 4.
Исследование частных случаев
367. Предположим, что этот знаменатель равен 4.
Тогда [02], [d02/dEo|, [d02/dnol уже не будут независимыми от Э, они будут содержать члены с е±4'а.
Построение решений второго рода
285
Уравнение относительно ей онять даст два различных решения
э = э0, a = a0+-J,
которые дадут два периодических решения; так как знак X может зависеть от 3, то может случиться, что мы получим:
два вещественных решения второго рода при X )> 0; ни одного решения при X < 0;
одно вещественное решение второго рода при X )> 0; одно решение при X <( 0;
ни одного вещественного решения второго рода при X )> 0; два решения при X <( 0.
Функция U0-\-zU1 (см. стр. 219) принимает вид
р4 (A cos 4tp -В) — zp2.
Предположим теперь, что знаменатель п равен 3.
Тогда разложение р по степеням е начинается с члена с е \]и0, так что если мы предположим, что р = X, то получим е2?0 и е \Ju0 в виде рядов, расположенных по степеням X, а не \/Х.
Знак \]и0 будет зависеть от 3, и если он положителен при 3 = Э0, то он будет отрицательным при 3 = Э0 -f- я/3.
Если, следовательно, мы условимся всегда предполагать \ju,Q существенно положительным, то мы увидим, что получим:
одно вещественное решение второго рода при X )> 0 и одно веще-
ственное решение второго рода при X <( 0.
Функция t/o + zf/j (см. стр. 219) принимает вид
Ар3 cos 3(р — zp2.
Если, наконец, знаменатель п равен 2, то [В2], [d02/dy, [dejdug]
содержат члены с е±4*а, e±z<a.
Уравнение относительно 3 принимает вид
A cos (43 + В) -f- A' cos (23 В') = 0
и допускает восемь решений
®о> ®о4"2”> ®o + 7t> ^o + ’V'»
®i> “Ь "2"» +
Из двух количеств э0 и Эл по крайней мере одно вещественное.
286
Новые методы небесной механики. III
Первое число в круглых скобках означает число периодических решении при Х^>0, а второе — то же число при Х<^0.
Функция стр. 219 принимает вид
Ар4 cos 4® -j- Bpi cos 2tp -f- Cp4 sin 2tp + Dp4 — zo2.
Как и в пунктах 13, 42, 125 и т. д., я предполагаю, что Р— периодическая функция у, разложимая по степеням параметра р. в виде
н что Р0 зависит только от х.
Тогда мы видели в п. 42, что эти уравнения допускают бесконечное число периодических решений первого рода
где функции у. и ф,. разложимы по возрастающим степеням р..
Рассмотрим одно из этих решений (2).
Пусть Т — период, а ос—один из характеристических показателей; их будет два, отличных от нуля, равных и противоположных по знаку, если мы предположим две степени свободы.
Мы видели в главе IV, что показатель ос зависит от р и разложим по степеням \/р. Когда р. изменяется непрерывным образом, то же происходит и с ос; предположим, что при р = р0 произведение аТ соизмеримо с 2гк и равно 2штг.
Отсюда мы можем заключить, что при р, близком к р0, существуют решения второго рода, порожденные решениями (2), период которых равен (к + 2) Т, где к-\- 2 означает знаменатель п.
Если мы оставим в стороне случаи, когда к-\-2 равно 2, 3 или 4, то, как мы видели, два из этих решений существуют, когда X (здесь р — р0) имеет определенный знак, и их нет, когда X (здесь р — р0) имеет противоположный знак.
Я сказал, что оставил в стороне случаи, когда к 2 = 2, 3, 4; я могу это сделать беспрепятственно. В самом деле,
Приложение к уравнениям п. 13
368. Возвратимся к каноническим уравнениям динамики
dxf dF dyi dF
dt dy{ * dt dxt '
(1)
F — F0 -f- p/\ + ...,
(2)
Построение решений второго рода
287
разложимо по степеням \/р и обращается в нуль с \/\1- Следовательно, для малых значений р. величина п очень мала, и ее знаменатель наверняка больше 4.
Таким образом, мы встречаемся с двумя предположениями.
Либо решения второго рода существуют только при р>р0, либо они существуют только при р Р0.
Какое же из этих двух предположений осуществляется?
Все зависит от знака некоторого количества @, которое само зависит от коэффициентов при и0 и Е0 в выражениях
Чтобы определить этот знак, нам нет нужды явно образовывать эту величину, а достаточны следующие рассуждения.
369. Возьмем сначала простой случай п. 199; пусть
?И
/7 = Хг + р СОБ у1
с каноническими уравнениями
йіі ар йу,
сП йуі ’ іИ
что дает
ар
Функция Якоби 5 записывается в виде
с двумя постоянными х% и С; отсюда мы находим х2 = а* у2 = —* + уо,
где А и у.° — две новые постоянные интегрирования. Мы видим, что появился эллиптический интеграл
288
Новые методы небесной механики. III
этот интеграл обладает вещественным периодом, который равен интегралу, взятому между 0 и 2 тс, если | С | > | р |, и удвоенному интегралу, взятому между
Обозначим этот вещественный период через Ш.
