Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
р'—р"=«'—?"?
Предположим, что р не равно д, а, например, что р > д, так что некоторое число периодических решений исчезает, когда мы переходим от ц >0 к р < 0; прежде всего, мы видим, что это число всегда четное и, кроме того, согласно предыдущему уравнению, всегда исчезает столько же устойчивых решений, сколько и неустойчивых.
Предположим теперь, что мы имеем аналитический ряд периодических решений и что при р=0 мы переходим от устойчивости к неустойчивости или наоборот (и притом так, что показатель а обращается в нуль). Тогда д' и р" (например) не меньше 1. Следовательно, сумма р'+д” не меньше 2, откуда следует, что мы будем иметь, по меньшей мере, один аналитический ряд вещественных периодических решений, отличный от первого и сливающийся с ним при р=0.
Следовательно, если для некоторого значения р периодическое решение теряет устойчивость или приобретает ее (и притом так, что показатель а равен нулю), то оно сольется с другим периодическим решением, с которым оно обменяется своей устойчивостью.
379. Вернемся теперь к случаю, который я предложил рассмотреть с самого начала, случаю, когда время не входит явно в уравнения, когда, следовательно, мы имеем интеграл живых сил Р=С, когда, наконец, имеется две степени свободы.
Тогда я буду рассуждать, как в п. 317; я предположу, что период периодического решения, равный Т для периодического решения, которое соответствует ц=0, Р<=0, будет равен Г+ти мало отличаться от Т для соседних периодических решений; и я напишу уравнения
фх = 0, = 0, Фз = 0, ^=С0, р1 = 0, (1)
Свойства решений второго рода
307
в которые входят переменные
Pli Р21 Р31 Р41 Х-
Согласно нашим предположениям, функциональный определитель от ф по р должен обратиться в нуль вместе со всеми своими минорами первого порядка, но миноры второго порядка не будут, вообще говоря, все равны нулю одновременно.
Следовательно, положим р^О в уравнениях (1) и рассмотрим функциональный определитель А от
Фн Фя> Фз! F
по
Рз! Р31 Pi» Х-
Этот определитель обращается в нуль, когда величины р, ц и т обращаются в нуль; но, вообще говоря, миноры первого порядка не будут обращаться в нуль.
В самом деле, рассмотрим функциональный определитель от F и двух из четырех функций ф по т и двум из четырех переменных р. Могут ли они все быть нулями одновременно?
Согласно теории определителей, это могло бы случиться только
1) если бы все миноры двух первых порядков определителя ОТ ф ПО Р были равны нулю одновременно, чего, вообще говоря, не бывает и чего мы не будем предполагать;
2) либо если бы все производные от F были нулями одновременно; мы видели в п. 64, что они должны были бы обращаться в нуль вдоль всего периодического решения; мы также не будем предполагать и этого;
3) либо, наконец, если бы все производные от ф и F по т были нулями одновременно; тогда значения.
Pi = Рг — Рз = 1^4 = 0
соответствовали бы не периодическому решению в собственном смысле этого слова, а положению равновесия (см. п. 68).
Этого мы также не будем предполагать.
Следовательно, мы можем всегда предположить, что все миноры пер вого порядка определителя А не равны нулю.
Исключим теперь четыре из неизвестных р и т из уравнений (1).
Исключим, например, р^ {З3, р4, т; останется уравнение вида
Р) = О.-
так как это уравнение совершенно того же вида, что и уравнение (5) предыдущего пункта, мы будем обращаться с ним таким же самым образом и придем к тем же результатам:
20*
308
Новые методы небесной механики. III
1. Когда периодические решения исчезают, после того как они сольются, то из них исчезает всегда четное число и притом столько же устойчивых, сколько неустойчивых.
2. Когда периодическое решение теряет или приобретает устойчивость при непрерывном изменении р (и притом таким образом, что а обращается в нуль), то можно быть уверенным, что в момент перехода с ним сливается другое вещественное периодическое решение того же периода.
380. Перейдем ко второму случаю, когда
Тогда, так как ни один из характеристических показателей не обращается в нуль при
Р=0
за исключением двух, которые всегда равны нулю, не существует периодического решения с периодом Т, сливающегося с первым при
(1=0.
Но зато в силу принципов главы XXVIII существуют периодические решения второго рода с периодом 2Т, которые при р=0 сливаются с заданным решением, период которого равен Т.
Что мы скажем об их устойчивости? При ц >0 мы будем иметь, например, устойчивое решение с периодом Т, которое станет неустойчивым
при р <С 0.
Пусть при р <С 0 р' и р” — числа устойчивых и неустойчивых решений, которые допускают период 2Г, не допуская периода Т. Пусть д' и ц" — соответствующие числа при р <С 0.
Тогда, рассматривая все решения с периодом 2Т, которые допускают пли не допускают период Т, и применяя к ним принципы п. 378, я увижу, что могу сделать по поводу этих четырех чисел следующие три предположения:
р' + 1=р", г' = дв + 1, р'=р", д' = / + 2,
2 +р' = р\ ?' = ?"•
Но если мы обратимся к принципам главы XXVIII, то увидим, что эти четыре числа не могут принимать все значения, совместные с тремя предположениями. В п. 335 мы найдем разбор наиболее простых и наиболее часто встречающихся случаев.
