Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
U0 = *2Щ; = Щ + zU\ -f z2U\
U0 + zU1 = zU4 + z*{Ul+ U\) + z3U\.
При вычислении J'Ej + zW7! я могу пренебречь двумя псоледними членами, которые делятся на z'2 И Z3, и получу просто
Wb + zW^zU*.
Я докажу, что V имеет максимум при х1 = х2 — 0 и при положн-тельном и очень малом z; но достаточно показать это для W0 -f- zWv т. е. для zU\.
Таким образом, окончательно остается доказать, что U\ — определенноотрицательная форма.
Для того чтобы убедиться в этом, запишем квадратичную форму ?/j следующим образом:
U^Ul + Ul;
U'i — сумма двух квадратов с коэффициентами, знак которых я не предрешаю; U"i зависит только от и — 2 переменных
*3. • ? •’
Это всегда возможно в силу общих свойств квадратичных форм. Рассмотрим форму
U't + zU^zm + iUo + zU'?),
где z предполагается положительным и очень малым. Форму ?/„-+- zU'[, зависящую только от п — 2 переменных х,, х4, . .., хп, можно приравнять сумме п — 2 квадратов с коэффициентами, знаки которых должны быть теми же, что и знаки А3, А4, ..., Ап, поскольку эта форма очень мало отличается от ?/„, так как z очень малб. Следовательно, они не изменяют знака, когда z переходит от положительных значений к отрицательным.
Согласно нашим предположениям, когда z переходит от положительных значений к отрицательным, наши п — 2 коэффициента не обращаются
Периодические решения второго рода
213
в пуль, а два коэффициента переходят, напротив, от отрицательных значений к положительным.
Эти два носледних могут быть только коэффициентами формы U[.
Таким образом, U[ является суммой двух квадратов с отрицательными коэффициентами.
Чтобы получить J7J, необходимо в их положить
х$ x^ ? а . хп 0.
Тогда ?7" обращается в нуль, a U1 сводится к U[. Таким образом, Щ — определенно-отрицательная форма, что требовалось доказать.
Итак, функция V, рассматриваемая как функция от хг и х2, имеет максимум при положительном и очень малом z и при х1=х2=0.
Мы могли бы увидеть также, или, скорее, видим в то же время, что V имеет минимум при отрицательном и очень малом z и при х1=хг=0.
Таким образом, мы пришли, как я это утверждал, к условиям предыдущего пункта, и теорему, сформулированную в начале этого пункта, можно считать установленной.
Существование решений второго рода
333. Обратимся вновь к предположениям п. 330; мы определили функцию 5 , которая зависит от р., от 2п переменных
Л'1 + ^ц . .., +
у, + ъ уя + т,„.
Величины и у], являются значениями х. и у. при ?=0; X. иУ( суть значения х{ и у{ при t=mpT.
Мы хотим изучить решения уравнений
_д. ^
d(?’,. + St.) «(У,-}-’!!)
согласно пунктам 321 и 322 эти решения соответствуют периодическим решениям с периодом трТ. Из них мы уже знаем одно решение, поскольку периодическое решение с периодом Т является в то же время периодическим с периодом трТ\ я покажу, что в их числе имеются и другие.
Но прежде я хочу показать, с помощью какого приема можно сделать зависящей только от \\ и п—1 переменных
А”і + ?!, А”2 + ?2, ..., Xя_1 + 6я_,,
Уі + Ін ? ? ?> + ^? + т1я-
Для этого предположим, что
лгя + ^=°-Я 1 91
214
Новые методы небесной механики. III
Рассмотрим теперь уравнения
шр ,, , А , . ,
О (Л-,. + ?<)- г) (У,. + 7,,.)= 1 (lblS)
Мы применяем символ d, чтобы обозначить производные от функции S, рассматриваемой как функция переменных (а), и д, чтобы обозначить производные этой же самой функции S, рассматриваемой как функция переменных (Р).
Я докажу эквивалентность уравнений (1) и (Ibis). Из п. 322 имеем dS ? [(X, - Е,) d{Y{ + Ъ) — (Yf — Тц — 2,п{п) d(X{ + Е,)].
Таким образом, уравнения (1) можно записать
~Х~ 2mtn) = хс — Е,- = О (i = 1,2...........«.),
а уравнения (Ibis)
—(Yi — X — 2тж) = (А'< — ^) = 0 (? — 1, 2, . .., и — 1),
хп~ Е. = 0.
п п
Но в соответствии с уравнением живых сил мы имеем тождественно F(Xt, Yt) = F(Ht, гн + 2т*).
Однако согласно уравнениям (Ibis) все Х{ равиы Е( и все Yt (за исключением одного) равны 2т(п.
Итак, предыдущее тождество можно записать'“следующим образом; я пишу для краткости
^(Ej, Е2, ..., Е„; 1\^-\-2т^, т]2 + 2 т2п, . . ^ + 2тя_]п, YJ~F(YJ.
Тождество можно написать в виде
F [т|я + 2ти~ + (У„ — rhi — 2тт.)\ — F (^ + 2т п) = О или в силу теоремы о конечных приращениях
(Y„ — X — 2т„п) F‘ f7!» -Ь 2т„п + 0 (Y„ — X — 2m„ir)] =0, (2)
где 0 заключено между" 0 и 1 и где F' — производная от F по Yn.
Пусть Е° и rfi — значения Е,- и т;соответствующие периодическому решению с периодом Т; рассматриваемая область содержит только близкую окрестность точки p. = fj.0> Еi = EJ, 7]f = tjP; следовательно, %. и Х( никогда не отклоняются намного от EJ, a ri{ или У1 — 2пг{к — от т;®; таким образом, второй множитель F' п соотношении (2) никогда не отклоняется сильно от своего значения при Е^ = Е9, Tjf = и это значение, вообще говоря, не будет нулем.
Периодические решения второго рода
215
Следовательно, первый множитель соотношения (2) должен обратиться в нуль, и мы имеем
Yn — 7]„ — 2 т„ъ = 0.
Другими словами, уравнения (Ibis) влекут за собой уравнения (1). Таким образом, мы можем считать S функцией переменных ([3), и когда она будет иметь максимумы как функция переменных (р), она будет также иметь максимумы как функция переменных (а).
