Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
, й- й-М - — =
'/т \/и+н
Тогда выражение действия по Мопертюи имеет вид
2 5 йт у/(/ +/1-
338. Чтобы можно было изучить другие частные случаи, положим для краткости
, (1х;
х< ~ ~йГ
15 А. Пуанкаре, т. 11
226
Новые методы небесной механики. III
найдем у. из уравнений
так, чтобы принять за новые переменные величины х< и х\\ обозначим через обычные й производные, взятые по ж, и у{, и через д производные, взятые по х( и х\.
Мы легко найдем хорошо известные соотношения:
__ д_п_ дн _ ар
У* дх* дх( dX( ’
и увидим, что уравнения (1) эквивалентны уравнениям Лагранжа
И йН __дН (И дх'{ дх('
При этих условиях исследуем случай, когда Н имеет вид
Н = Нй + Н1 + Н„
где Н0, IIи Н2 — однородные функции соответственно степени 0, 1, 2 относительно переменных х\.
Тогда мы имеем
^ = Я2-//0,
и величины
__дИ?,дИ1
~ дх\ дх'(
будут линейными функциями, но не однородными относительно х\. Гамильтоново действие сохраняет ту же форму
5 нм.
Посмотрим, какой вид примет действие по Мопертюи.
Пусть К — постоянная живых сил; выражение действия по Мопертюи будет иметь вид
5 (Н 4- К) М,
но его необходимо привести к форме, независимой от времени.
Различные формы принципа наименьшего действия
227
Для этого положим
/7
2
и —аа ?"1 — ?
'
Функция .На является не чем иным, как живой силой, а йта есть результат замены в живой силе переменных х'{ дифференциалами йх.. Аналогично, йа представляет собой функцию Н1 после замены в ней х. на йх^ таким образом, это линейная однородная форма относительно дифференциалов с1х{.
Если принять во внимание уравнение живых сил
Ня = Н0 + к,
откуда
Л =-=?=.
^ Н0-{-Н
то действие по Мопертюи примет вид
5 [2Л^Я0 + А + сго].
Таким образом, принцип Мопертюи приложим к случаю, который нас интересует, как и к случаю абсолютного движения; но здесь имеется существенное различие с точки зрения того, что сейчас последует.
Во всех задачах, с которыми мы встретимся, живая сила Т или Нг существенно положительна; это определенно-положительная квадратичная форма. В случае абсолютного движения (п. 337) действие
( 2с*т ^ТГ+И
существенно положительно; оно не изменяется при взаимной перестановке пределов. Напротив, в настоящем случае действие состоит из двух членов; первый
( 2йт у/Н0 + к
всегда положителен и не изменяет знака при перестановке пределов. Второй
меняет знак, если переставить пределы; таким образом, он может быть положительным или отрицательным.
15*
228
Новые методы небесной механики. III
Если заметить, кроме того, что в некоторых случаях первый член обращается в пуль без того, чтобы обратился в нуль второй член, то мы увидим, что действие не всегда положительно, и это обстоятельство доставит нам в последующем много затруднений.
339. Для того чтобы показать, как предыдущие рассуждения применяются к относительному движению, рассмотрим сначала абсолютное движение системы; итак, пусть
н=т+и,
и представим себе, что положение системы определено /1 + 1 переменными
где хг, ж2, . . ., хп достаточны для определепия относительного положения различных точек системы, а ш — для определения ориентации системы в пространстве.
Если система изолированная, то и будет зависеть только от хи х2,. . хп\ Т будет однородной квадратичной формой относительно х[, х'„, . . ., х'н, ш', коэффициенты которой зависят только от аг1, х2, . . ., хн. Тогда мы будем иметь уравнение
где р есть постоянная; это интеграл площадей.
При этих предположениях пусть I есть гамильтоново действие
<і
I = ( НЛ1]
если уравнения движения удовлетворяются, мы будем иметь
8'=[2е+<+к+П-
Действие будет минимумом (или, вернее, его первая вариация будет равна нулю), если начальные и конечные значения переменных х. и (о считать заданными, т. е. если ог< = 8ш = 0 при і = ?„ и ? =
Предположим теперь, что мы считаем заданными начальные и конечные значения х{, но пе ш; мы получим
8 / = [рЗш] = р [ош]
Тогда пусть
Н' -= Н — рш>
Различные формы принципа наименьшего действия
229
и
Г = 5 Н'ёН;
очевидно, будет
а/' = о.
тт йТ ,
Из уравнения -^, — р мы находим величину иг, которая является линейной неоднородной функцией от х\\ мы видим, следовательно, что Н' является неоднородной квадратичной функцией относительно х\.
Таким образом, И' имеет вид Н0 Нг + Н2, изученный в п. 338.
Следовательно, интеграл I1 будет минимумом, если даже начальные и конечные значения ш не считаются заданными.
Притом мы имеем
/' = I—рК — %),
где ш0 и — значения ш при t=t0 и 4 = ^.
340. Предположим теперь, что система отнесена к подвижным осям и подвержена действию сил, которые зависят только от относительного положения системы относительно подвижных осей. Предположим, кроме того, что оси равномерно вращаются с постоянной угловой скоростью <о'.
Эта проблема немедленно сводится к предыдущей; необходимо только приписать подвижным осям очень большой момент инерции таким образом, чтобы угловая скорость оставалась постоянной.
Тогда для абсолютного движения имеем
н=т+и=т1+т,+и.
Силовая функция и зависит только от переменных х{, которые определяют положение системы относительпо подвижных осей; живая сила системы Тг зависит от х{ и является квадратичной формой относительно х\ и ш'; живая сила подвижных осей Т2 равна
