Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Второй случай. Мы имеем
и'0 = А{и[)*.
В этом случае мы начнем с разрешения уравнения (3), которое записывается в виде
%А{и$~1± 1=о.
Это уравнение дает значение и[\ это значение вещественное и простое; но этого недостаточно, так как [/' — определенно-отрицательная форма; для того чтобы решение годилось, необходимо, чтобы найденное значение и\ было отрицательным; следовательно, мы выберем знак +.
После такого определения значения 17[ мы приписываем и[ это постоянное значение и для разрешения уравнения (2) мы должны только искать максимумы и минимумы функций И'",.. Как мы видели, найдем, по крайней мере, два решения нечетного порядка.
Итак, мы установили, что уравнения (2) и (3) всегда имеют вещественные решения нечетного порядка. Таким образом, теорема, сформулированная в начале этого пункта, доказана.
332. Пусть теперь V — функция гс+1 переменных
х1г хг,. . ., х„ и z.
Я нреднолагаю:
1) что V разложима по степеням гиг;
2) что при
Х1==х^== * ? • ==хп~0,
Периодические решения второго рода
209
каково бы ни было г, мы имеем
У 0У__0У__
(1х1 (1х2 <1хп ’
3) рассмотрим совокупность членов V второй степени относительно X. Они представляют квадратичную форму, которую можно приравнять сумме п квадратов с положительными или отрицательными коэффициентами.
Я предполагаю, что когда г переходит от положительных к отрицательным значениям, два из этих п коэффициентов переходят от отрицательных к положительным значениям и что п—2 остальных коэффициентов не обращаются в нуль.
Я говорю, что при этих условиях уравнения
_йУ
в,Х1 &х2 ‘" ' Лхп
допускают вещественные решения, отличные от
Х^— * ? •—
В самом деле, разложим V но степеням г, и пусть
У=У0+У1г+У^+. . ..
Пусть ио и их — совокупность членов второй степени из У„ и У5.
Совокупность ио является квадратичной формой, представимой в виде суммы п—2 квадратов, ибо мы знаем, что при г=0 два коэффициента, о которых шла речь выше, обращаются в нуль.
Таким образом, если мы рассмотрим дискриминант формы {/„, т. е. функциональный определитель от
/1и0 <Ша
йх-^ ’ Лх2 ’ ' ' (1хл
по
®1> "^21* • «I Хп,
то этот определитель, как и все его миноры первого порядка, обращается в нуль; однако не все миноры второго порядка обращаются в нуль, в противном случае третий коэффициент был бы нулем, чего мы не предполагаем.
Мы можем также предположить, что произведена такая линейная замена переменных, что и0 принимает вид
и0 = Аах* -(- Л4х% + • •. + Апх1
14 А. Пуанкаре, т. II
= 0
(1)
210
Новые методы небесной механики. III
и, следовательно, что функциональный определитель от
аи0 ли п аи0
Лх3 ' Лхі ' ' ‘ ’’ Лх„
относительно
^*4ї- ? ч ?п
не равен нулю.
Рассмотрим теперь уравнения
<17 ЛУ ж
(2)
сіх^ (іх^
которые представляют собою п—2 уравнения из (1).
Я говорю, что из них можно найти
ж3> ^4»' ? ч Хп
в виде рядов, расположенных по степеням
Для этого достаточно, в силу п. 30, чтобы функциональный определитель уравнений (2) относительно
Но уравнения (2), если положить г=0 и ограничиться членами первой степени относительно х, приводятся к следующим:
и мы только что видели, что соответствующий функциональный определитель не равен нулю.
Заменим в функции V величины ха, х4,. . ., хп их значениями, найденными таким образом из уравнений (2); я говорю, что мы окажемся теперь в условиях предыдущего пункта.
1) действительно, мы имеем только три независимых переменных г, хг и яа;
2) функция V разложима но степеням этих переменных;
3) уравнения (1) можно заменить следующими:
?^З* **'4> ? ? Хп
не обращался в нуль, если положить
г=х1^=х2=х3~х4=. . ,=хп=0.
Лх3 Лх±
йУ о Лх„
Периодические решения второго рода
211
где символ д означает производные, взятые в предположении, что ха, я4,. . ., хп суть функции от хх и х2, определенные уравнениями (2).
В самом деле, мы имеем
I ЛУ Лхп
дх2 ‘ <1х3 йх1 ' йх^ с1Х\ ‘ ' ' ' Лхп и.Х1 '
откуда в силу уравнений (2)
дУ _<1У дх} <1х\ ’
ду___ау_ _
дх2 <1х2 ’
4) при г > 0 функция У, рассматриваемая как функция от х1 и х2, имеет максимум, когда эти две переменные равны нулю.
Чтобы увидеть это, нам необходимо найти в У члены второй степени относительно хг и х2. Пусть
ЧУ0+21У1+221У2+. . .
— эти члены. Чтобы получить члены
1У0+х\?1,
только и интересующие меня, я беру два члена
и0+г1\
и пренебрегаю остальными членами У, которые не могут повлиять на 1У0+хШ1.
Я нахожу из уравнений (2)
я3> я4,. . ., хп
в виде рядов, расположенных по степеням х1 и хг; я сохраняю в этих рядах только члены, которые имеют степень 1 относительно х1 и хг и степень 0 или 1 относительно г; другими членами можно пренебречь, ибо они не влияют на
И^о + зИ',.
Тогда уравнения (2) сведутся к
2 3Л + *|? = 0,
мА + ^=0-
14*
212
Новые методы небесной механики. III
Если в U0 мы подставим вместо xs, х4, ..., хп значения, полученные таким образом, мы увидим, что UQ станет делиться на z2; что же касается Uj, то оно сведется к
Щ + zU\ + z2U\ + ...,
где U° не что иное, как значение функции Uv когда х3, х4, . .., хп обращаются в нуль, и где U\ и U\ — две другие квадратичные формы от х. Итак, мы будем иметь
