Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
2тт, 0, .. ., 0,
0, 2к, 0,
0, 0, ..2п,
играют в этом рассуждении роль периодов.
Мы имели бы исключение, если бы эти периоды не были независимыми, т. е. если бы одна из величин ш была соизмерима с2п или, если бы вообще существовала линейная комбинация я, допускающая только один период, т. е. существовало соотношение вида
^1Ш1 + ^2шг ~Ь ? ? ? + + 2тсйя = 0, (2)
где величины Ь — целые числа.
Оставим сначала в стороне этот исключительный случай; количества (1) будут равны
Мк .
-~= 31П ък.
Сказать, что можно выбрать целое число т так, чтобы эти количества составили комбинацию заданного знака, значит сказать, что имеются числа гк, удовлетворяющие неравенствам вида
Яд < Яд Яд 4- п, а2 я2 я2 4~ ? ? ч ®„-1<^. 2я-1 71• (^)
где величины ак равны 0 или л.
Периодические решения второго рода
203
Но это как раз и вытекает немедленно из того, что мы только что сказали выше.
Перейдем к случаю, когда имеется соотношение вида (2). Мы всегда можем предположить, что целые числа Ь взаимно простые; в этом случае выражение
Ь1г1 Ь2г2 (4)
допускает в качестве единственного нериода 2 к.
Для того чтобы не существовало чисел гк, удовлетворяющих неравенствам (3), необходимо и достаточно, чтобы разность между наибольшим и наименьшим значением, которое принимает выражение (4), когда величинам гк дают все значения, совместимые с неравенствами (3), чтобы эта разность, говорю я, была меньше 2тс, т. е. нериода выражения (4).
Но эта разность, очевидно, равна
71 (I 1 + I I + ? ? ? + | К_г |);
следовательно, мы должны иметь
I &11 + I ^21 + ? ? • ~Ь 16,-11 ^ 2. (5)
Неравенство может иметь место только в том случае, если все Ь равны нулю, за исключением одного из них, которое должно быть равно +1.
В этом случае должно быть равно кратному 2 тс; это означает, что ак должно быть нулем, поскольку а.к определено только с точностью до кратного 2тс \/—1/Г.
Но мы как раз исключили случай, когда один из показателей лк равев нулю. Равенство может иметь место, только если все Ъ нули, за исключением двух из них, которые должны быть равны +1.
Тогда сумма или разность двух из шк будет кратной2тс и если мы заметим, что Ид. определены только с точностью до кратного 2тс\/—1 /Г, мы можем сформулировать этот результат другим образом: два характеристических показателя будут равными.
Это единственный исключительный случай, который существует и который легко может быть исключен из рассмотрения.
329. Предположим теперь, что рассматриваемые уравнения динамики зависят от произвольного параметра р., подобно тому как это имеет место, как мы знаем, в задаче трех тел.
Когда мы непрерывно меняем р, периодическое решение
*< = ?<(*). У| = ?И0
будет также меняться непрерывным образом, в чем можно убедиться при чтении главы III.
204
Новые методы небесной механики. III
Количества Мк также будут изменяться непрерывным образом, но, как было объяснено в п. 323, они никогда не смогут обратиться в нуль; следовательно, они всегда будут сохранять один и тот же знак; но как раз только их знак нас и интересует.
Постоянная живых сил будет считаться одним из фиксированных параметров задачи; этот параметр может зависеть от р, и мы выберем его так, чтобы период Т периодического решения оставался постоянным.
Показатели лк будут также изменяться непрерывно, когда мы будем непрерывно менять р; посмотрим, как происходит это изменение в случае задачи трех тел. При р=0 все показатели равны нулю; но как только р перестает быть нулем, показатели также перестают быть равными нулю; один из этих показателей сможет обратиться в нуль, или стать равным кратному —1 /Г, или стать равным другому характеристическому показателю только для определенных частных значений р.
330. Рассмотрим такое нериодическое решение с периодом Т, что все показатели ак чисто мнимые; выше мы назвали это устойчивым решением; мы доказали существование этих решений в главах III и IV.
Рассмотрим один из показателей, например а1; когда р будет изменяться непрерывным образом, величина я2/\/—1, которая вещественна, будет бесконечно много раз становиться соизмеримой с 2п1Т.
Дадим р такое значение р„, что
а1 2къ
~7гг'
где к и р — взаимно простые целые числа, которые, кроме того, не соответствуют максимуму или минимуму величины о^Д/—1.
Мы увидим дальше, в п. 334, почему я пишу в числителе 2кк, а не А:к.
На всяком сколь угодно малом интервале имеется бесконечное число подобных значений.
Если пг — какое-нибудь целое число, то для этого значения р„ выражение
М, . рта, Т
V—1 у'—1
равно нулю; кроме того, так как р0 не соответствует максимуму или минимуму величины аХД/—1, это выражение изменит знак, когда р перейдет от р0 — е к р0 + е.
Предположим, например, что оно переходит от отрицательного значения к ноложительному.
Рассуждая, как в п. 328, мы увидим, что можно выбрать такое целое число пг, что выражения
{к==2, ' ” ”_1)
Периодические решения второго рода
205
представляют все возможные комбинации знаков и, в частности, что все они отрицательны.
При этих предположениях при р=Ро—е наша функция будет
