Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
где С — совокупность членов, содержащих множителем Р?+1, ХВ, или Х2Ря; А и В — постоянные коэффициенты, не равные нулю.
Периодические решения второго рода
183
Мы видим, что отсюда можно получить Ря в виде ряда, расположен-1
ного по степеням Хр-1, и вопрос заключается в том, чтобы установить, является ли этот ряд вещественным.
Если р — четное или если при нечетном р коэффициенты А и В имеют противоположные знаки, то ряд вещественный, и периодические решения второго рода существуют.
Если р — нечетное и если А и В одного знака, то ряд мнимый, и периодических решений второго рода нет.
Теперь я предполагаю, что не только якобиан, но и его миноры первого, второго,. . ., (р—1)-го порядков обращаются в нуль при Х=0. Однако я предполагаю, что миноры р-го порядка не обращаются в нуль все одновременно.
При этих условиях, согласно п. 57, мы будем иметь не один, а р характеристических показателей, которые будут кратны 2ь тг/кТ.
Тогда из п—р уравнений (3) можно будет найти п—р величин (3 в виде рядов, расположенных по степеням X и р остальных величин р.
Для краткости я обозначу п—р первых количеств [3 через Р', а р остальных количеств |3 — через |3". Следовательно, мы будем иметь Р' разложенными по степеням X и |3".
Подставим эти разложения вместо р' в р последних уравнений (3), тогда получим р уравнений
01 = е>=...=е^ = О, (5)
левые части которых будут разложимы по степеням X и Р".
Поскольку якобиан и его миноры р — 1 первых порядков равны нулю, эти левые части не будут содержать членов первой степени относительно Р", не зависящих от X.
Пусть 0( — совокупность членов 0 первой степени относительно Р"; ясно, что 0,. можно будет разложить по степеням X; пусть
0, = 0(0) -1- ХОП) + Х20(2) + ...
— это разложение; 0(*) будут однородными полиномами первой степени относительно Р".
Согласно предыдущему, 0(°> будет тождественным нулем; но необходимо посмотреть, не будет ли таким же 0(Я.
Якобиан величин <|> относительно р равен
П
причем произведение, обозначенное знаком П. распространяется на п сомножителей, соответствующих п характеристическим показателям а. Пусть ое1, а2 . . ., ап — эти п показателей и пусть
? (а) (1 — еыт);
184
Новые методы небесной механики. III
якобиан будет равен произведению
? Ы ?(аг) ???? (*»)?
При Х=0 якобиан, так же как его миноры р — 1 первых порядков, обращается в нуль; отсюда вытекает, что р показателей кратны 2Ьп/кТ. Таким образом, р множителей (р(я) при Х=0 обращаются в нуль, и, следовательно, делятся на X. Произведение их, т. е. якобиан, будет, следовательно, делиться на Х'’.
Предположим, что при Х=0 ни одна производная йа.1й\ не обращается в нуль, что мы уже предположили выше. При этих условиях ни одно <р(а) не делится на X2. Следовательно, произведение не делится на Хр+1. Итак, якобиан делится на \р, но не на Хт.
Отсюда вытекает, что определитель величин 0^ отличен от нуля и, следовательно, ни одна из величин (К1) не обращается тождественно в нуль.
Наиболее простым случаем является тот, когда при Х=0 члены второй степени не исчезают в 0; и когда эти члены второй степени не могут обратиться в нуль одновременно, если только все (3" не обращаются в нуль одновременно.
Пусть тогда т], — совокупность членов второй степени из 0,. при X—0. Тогда будет достаточно рассмотреть алгебраические уравнения
т|< + х0р = о,
левые части которых суть однородные полиномы второй степени относительно X и величин Р".
Если эти уравнения допускают вещественные решения, мы будем иметь периодические решения второго рода.
Я не буду рассматривать другие случаи, имея в виду сделать это полностью для уравнений динамики.
Случай, когда время не входит явно
316. Предположим, что функции Х(, фигурирующие в уравнениях (1), не зависят от времени I.
В этом случае, как мы это видели в п. 61, один из характеристических показателей всегда равен нулю.
С другой стороны, если
х, ?=-- <р4 (*)
— периодическое решение с периодом Т, то таким же будет
я,- = ?<(* + А).
какова бы ни была постоянная к.
Периодические решения второго рода
185
В предыдущем пункте мы предполагали, что, каково бы ни было р, существует периодическое решение
(<).
и период мог быть равен только Т, поскольку Х( были периодическими функциями f с периодом Т.
Таким образом, период не зависел от р..
Здесь это уже не так. Мы всегда будем предполагать, что, каково бы ли было р., уравнения (1) допускают периодическое решение
*# = ,Р|(0-
Но период будет, вообще говоря, зависеть от р. Я назову Т периодом, а Та — значением Т при р= р0, т. е. при X—0.
Тогда мы изменим слегка определение количеств риф.
Обозначим снова через <р,. (0)+р,- значение х. при /=0; но <р,. (0)+Р,-+ф,-представит значение х{ при г=й (Т’+т) (а не при 1=кТ).
В этом случае ф< будут функциями ге+2 переменных
Рн ? ? ?• Ря>
Если продолжать считать р и X координатами точки в пространстве п+1 измерений, то уравнения (3) п. 314
ф. = 0
будут представлять не кривую, а поверхность, поскольку мы можем менять независимым и непрерывным образом два параметра т и X.
Но важно заметить, что на этой поверхности проведены кривые, различные точки которых соответствуют периодическим решениям, которые нельзя считать существенно различными.
