Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, мы можем получить д+1 различных интегральных инвариантов (если рассматриваемое периодическое решение не является особым в смысле п. 257), но мы не можем получить их больше.
282. Выше я сказал, что условия (15) наверное выполнены; можно было бы усомниться в этом; в самом деле, если уравнения (14) допускают д различных решений, то можно иметь д+1 инвариантов; если, следовательно, имеется только один инвариант, то можно было бы предположить д=0, следовательно, наличие единственного инварианта
не было бы достаточным для того, чтобы можно было утверждать, что уравнения (14) наверняка допускают одно решение.
Мне остается рассеять это сомнение.
Прежде всего я замечаю, то в случае задачи трех тел имеется не один, а два интегральных инварианта.
В самом деле, в I томе в главе IV мы изучили уравнения в вариациях этой задачи.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
117
На стр. 150 и 152 мы получили следующие интегралы:
2-?L~2SE=const’ w
2 ^+*> - * (2 ?_ 2 ? 6)=consl- (2)
Мы найдем также
2S-2Ss,=const’ (lbis)
2 (2r,i'+^') -St (2 2 S s0=const- (2bis>
Умножим (2bis) на (1), (Ibis) — на (2) и вычтем, получим
2(-S~Ss)2(2xi1'+yl>) - 2 (S- S1E0 2(2жт1+^=const-
Левая часть линейна относительно определителей вида 7I*7I<> 1*6* Mfc У.«
Следовательно, мы имеем интеграл уравнений в вариациях и сможем вывести из него новый билинейный интегральный инвариант.
В случае задачи трех тел мы имеем, следовательно, по меньшей мере 9=1, и можно быть уверенным, что условия (15) выполнены.
283. Будет ли то же самое в общем случае? Предположим, что этого нет. Тогда все коэффициенты, которые мы назвали В,-, должны быть нулями, так же как и все Ек, за исключением Е0.
Следовательно, когда мы даем xt и у( значения, которые соответствуют рассматриваемому периодическому решению, т. е. когда полагаем
С=АкА'л = 0,
коэффициенты членов с — 8/^ 8'/* должны обратиться в нуль, и
остаются только члены с
/;(8/fc8'0_508'/J,
5'8_-895'Ф).
Следовательно, наш инвариант должен был бы обратиться в нуль, когда мы имели бы
80 = 8'8 = 0.
118
Новые методы небесной механики. III
Но это не имеет места в случае инварианта
5
которому соответствует выражение
2 (Ч8Ч — 8г/,°Ч)-
Пусть, в самом деле,
80 = 2«<Ч + 'ЕЬлу;,
Ъ'в = %1рх' + 2рру<.
Мы должны были бы иметь равенство вида
2 (Ч8Ч — Ч8Ч) = 2 (аЬх( + Ь^у.) 2 (сЗ>1х( + е$'у() —
— 2 К-8Ч + ЬЬ'у,) 2 (с.-Ч- + е&/.)-
Но это невозможно, поскольку левая часть является билинейной формой с определителем, равным 1, а правая часть — билинейной формой с определителем, равным 0.
Следовательно, мы должны заключить, что условия (15) выполнены всегда.
284. Исследуем теперь, могут ли уравнения (14) допускать несколько решений.
Пусть
Вг, В2, . . ., Вп,
В[, В'2, В'п
— два таких решения, и предположим, что равенство
вь Д,
вк л!
не выполняется; тогда два уравнения
вкр^ = в.р-.
повлекут за собой Тогда индексы
гз1 дид. да(
к д~ц~ *
иа1е иа4 ______________ П
1, 2,. . п
Интегральные инварианты и асимптотические решения
119
разделятся на определенное число групп, которых будет столько же, сколько имеется различных значений для отношения ВДВ\\ два индекса будут принадлежать одной и той же группе, если они соответствуют одному и тому же значению отношения В^1В'{.
Тогда для того чтобы ак зависело от 7. (или к; — от Т*)> необходимо, чтобы индексы II к принадлежали одной и той же группе.
Предположим для определенности, что мы имеем только две группы, содержащие соответственно индексы
1, 2, . р,
р+1, р+2, . . ., п — 1.
Тогда
<*!, <*2’ ? ? ?> лр
будут зависеть только от
“о> Т1 > Тг> ? ? ?> Тр’
а
ЯрН> Яр+2> ' ? ?> “я-1
будут зависеть только от
а0’ Т рИ> Тр1-2> ? • Тя-1-
Тогда имеет место тот факт, что характеристические показатели ак образуют несколько независимых групп, так что ак одной группы не зависят ОТ произведений А^А'., относящихся к другой группе.
Периодические решения, для которых возникнет это обстоятельство (или для которых имело бы место соотношение между ак), можно будет назвать частными.
Мы приходим к следующему заключению:
Для того чтобы существовал алгебраический инвариант, отличный от тех, которые нам известны, необходимо, либо чтобы все периодические решения были частными, либо чтобы они все были особыми в смысле п. 257.
Я не буду доказывать, что это обстоятельство не может представиться в задаче трех тел; но противоположное допущение кажется весьма неправдоподобным.
Квадратичные инварианты
285. Изучим теперь с той же точки зрения квадратичные инварианты, т. е. интегральные инварианты вида
{^,
где Р — квадратичная форма относительно дифференциалов йу(.
Пусть
Р == ^НдхДхк,
120
Новые методы небесной механики. III
где Н — функции х и. у и. где произведение dxidxk может быть заменено в определенных членах произведением dx(dyk или dyidyk.
Тогда мы сможем написать следующее уравнение, аналогичное уравнению (3) п. 278:
= const. (1)
С другой стороны, мы нашли в п. 278
Sz. = 64 + t%lt (, Ьу. = т],. + ,
Тогда мы сможем записать уравнение (1) в виде
