Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
587,8/;
для всех точек периодического решения, она должна обращаться в нуль во всех этих точках.
То же рассуждение показало бы снова, что она — тождественный нуль. В итоге, по крайней мере для частного случая ограниченной задачи, не существует квадратичного инварианта, отличного от известного.
О А. Пуанкаре, т. II
Глава XXVI УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПУАССОНУ П
Различные определения устойчивости
290. Слово устойчивость понимали в весьма различном смысле, и разница между различными понятиями устойчивости станет очевидной, если вспомнить историю пауки.
Лагранж доказал, что если пренебречь квадратами масс, большие оси орбит остаются неизменными. Этим он хотел сказать, что с этой степенью приближения большие оси можно разложить в ряды, члены которых имеют вид
A sin (at -f- Р),
где А, а и р — постоянные.
Отсюда следует, что если эти ряды равномерно сходятся, большие оси остаются заключенными в определенных пределах; система небесных светил, следовательно, не может пройти все положения, совместимые с интегралами живых сил и площадей, и, кроме того, она также пройдет вновь бесконечное число раз сколь угодно близко от ее начального положения.
Это — полная устойчивость.
Продвинув приближения далее, Пуассон объявил, что устойчивость существует, если учесть квадраты масс и пренебречь их кубами.
Однако это не имело того же смысла.
Он хотел сказать, что большие оси могут быть разложены в ряды, содержащие не только члены вида
A sin («* + [>).
но и члены вида
At sin (at -f- Р).
Значение большой оси испытывает в этом случае непрерывные колебания, но ничто не доказывает, что амплитуда этих колебаний не возрастает неограниченно со временем.
Мы можем утверждать, что система всегда вновь будет проходить бесконечно много раз сколь угодно близко от ее начального положения; но нельзя сказать, что она не удаляется значительно от него.
Устойчивость по Пуассону
131
Таким образом, слово устойчивость не имеет одного и того же смысла для Лагранжа и для Пуассона.
Еще стоит заметить, что теоремы Лагранжа и Пуассона допускают важное исключение: они не верны более, если отношение средних движений соизмеримо.
Оба геометра тем не менее заключают об устойчивости, потому что бесконечно мало вероятно, чтобы это отношение было в точности соизмеримым.
Таким образом, имеется повод для точного определения устойчивости.
Для того чтобы имела место полная устойчивость в проблеме трех тел, необходимы три условия:
1) чтобы ни одно из трех тел не могло неограниченно удаляться:
2) чтобы два тела не могли столкнуться и чтобы расстояние между этими двумя телами не могло стать меньше некоторого предела;
3) чтобы система проходила бесконечно много раз сколь угодно близко от ее начального положения.
Если выполнено одно третье условие и неизвестно, выполнены ли первые два, то я буду говорить, что существует только устойчивость по Пуассону.
Имеется случай, в котором давно доказано, что выполнено первое условие. Мы видим сейчас, что третье условие также выполнено. Что же касается второго, то я ничего не могу сказать.
Это — случай проблемы п. 9, когда предполагают, что три тела движутся в одной и той же плоскости, масса третьего тела равна нулю, а два первых тела описывают концентрические окружности вокруг их общего центра тяжести. Это то, что я для краткости назову ограниченной задачей.
Движение жидкости
291. Для того чтобы лучше разъяснить принцип доказательства, я возьму сначала простой пример.
Рассмотрим жидкость, заключенную в сосуде неизменной формы и заполняющую его полностью.
Пусть х, у, г — координаты молекулы жидкости, и, и, и? — компоненты ее скорости, так что уравнения движения записываются в виде
—==-^.=—= (П
и и 10
Компоненты и, и, ю — функции от х, у, г и ?, которые я предполагаю заданными.
Я предполагаю движение установившимся, так что и, и, ю зависят только ОТ X, У, 2.
Так как жидкость несжимаема, то мы имеем
132
Новые методы небесной механики. III
Другими словами, объем
| dxdydz
— интегральный инвариант.
Изучим траекторию какой-либо молекулы; я говорю, что эта молекула пройдет бесконечно много раз сколь угодно близко от ее начального положения. Более точно, пусть U — какой-либо объем внутри сосуда и сколь угодно малый; я говорю, что существуют молекулы, которые пересекут этот объем бесконечное число раз.
Пусть UQ — какой-нибудь объем внутри сосуда; молекулы жидкости, которые заполняют этот объем в момент 0, заполнят в момент т некоторый объем Ult в момент 2т — некоторый объем t/2, . . ., в момент nz — некоторый объем Un.
Несжимаемость жидкости или, что то же, существование интегрального инварианта, показывает, что все объемы
и0, иг, и2 ия
равны между собой.
Пусть V — общий объем сосуда; если
У<(в + 1)П0,
то мы будем иметь
V<U0+U1 + U%+... + UH.
Следовательно, невозможно, чтобы все эти объемы U0, иъ . . ., Un были внешними по отношению друг к другу; необходимо, чтобы, по крайней мере, два из них, например U. и Uk, имели общую часть.
Я говорю, что если Ut и Uk имеют общую часть, то это же будет и для U0 и Ub_. (предполагая, например, что к > ?).
