Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
(4Ыз 0)
(4Ыэ 1)
(4Ыз 2)
[Буквы Ф означают известные функции, периодические по у2 и у3, которые равны нулю в уравнениях (4Ыз2), но которые я, тем не менее, записываю, поскольку они появятся в последующих уравнениях. ] Уравнения (4Ыз 0) показывают нам, что г, и 5, — постоянные. Перейдем затем к уравнениям (4Ыз1) и приравняем средние значения обеих частей; получим
2з0 [ С2 ^ 1 Й15о=2-^4 0^1,
что определяет ах, я0 и гг] мы находим для а1 два значения, равные по величине и противоположные по знаку. Уравнения (4Ыз 1) определяют затем с точностью до постоянной г2 и 5Х, которые суть периодические функции у2 и у3. Следовательно, можно считать известными
г2 — [г2] и в! —
Перейдем к уравнениям (4Ыз 2) и приравняем средние значения обеих частей; получим два уравнения, из которых можно будет найти я., [г,] и
К].
Интегральные инварианты и асимптотические решения
103
Так как средние значения обеих частей равны, то уравнения (4bis 2) дадут z, к s, с точностью до постоянных в виде периодических функций Уз и Уз.
И так далее.
Так как мы нашли для а1 два значения, то уравнения (4bis) допускают два решения. Пусть
а = а, z — ср, « =
а ~—а, 2 = ф, 5 =
— эти два решения. Общее решение уравнений (4) будет
хг = Aealip + уг = Aeat срх + Be-at^v Мы всегда можем предположить
«рф1 — «Р1ф=1.
Тогда, как в п. 274, мы увидели бы, что если положить
*2 = ®2 + 11-2х? + 2КЧ?[у[ + Ь2у[2, у2 = у'2, х3 = х3 Н3х1 -{- 2К3х1у1 -J- L3yl , у3 = у3
и если Н2, К2, Ь2, Н3, К3, Ь3 — подходящим образом выбранные периодические функции у2 и у3, то каноническая форма уравнений не изме-
нится.
Вид F также не изменится, но В сведется к постоянной, А и С — к 0. Итак, всегда можно предположить
В = const, А = С = 0.
Остальные вычисления завершаются, как в пунктах 274 и 275, и мы окончательно приходим к следующему заключению:
Переменные xt и yt могут разлагаться по степеням е, у/р., трех постоянных <х0, а; и р01 е±11я^, у/р;?(Л!'+ад. #0еЧПз'+54
Сами постоянные nlt п[ и п2 также разложимы по степеням е, у/р., °ТР а0’ Эо‘
277. Перейдем ко второму приему обобщения и предположим, что мы хотим изучить уравнения в окрестности истинного периодического решения, взятого в виде
х1=хг = х3 = у1 = у2 = 0.
104
Новые методы небесной механики. III
Положим
F=e?F', х1 — вх[, г/i = ei/', х2 = ех'2,
Уг== еУг> *з = е2"^з’ Уз " Уз>
откуда
Уравнения остаются каноническими, и мы имеем
F'0 = hx’3 + Ф {х[, у[, х2, у2),
где Ф — однородная квадратичная форма от х\, у[, х2, у'2; коэффициенты формы Ф и h — периодические функции от у3 = г/'.
Мы отбросим впредь штрихи, ставшие ненужными, и просто запишем
Fq = kx3 -|- Ф (®i, г/i, х2, у2).
Так же, как и в пунктах 274 и 276, мы доказали бы, что всегда можно предположить, что h сводится к постоянной.
Рассмотрим теперь уравнения
dy3 и dx1 d<I> dy} _________ dФ
dt ’ dt d?i * dt dxi ’
dx2 __ dФ dy2 __ dФ
dt dy2 ’ dt dx2
Они линейны и имеют периодические коэффициенты. Их общее решение будет, следовательно, иметь вид:
xi = + АйеЬ1Ъл + ^4e“i'tP4,i.
Vl = ?4ie“<'Pl,2 + A2e~a/?2,2 + А3е*‘?3,2 + Aie~l‘?i,2'
X2 == Al& 7l,3 “b A2® ^2,3 “b A3^ 3,3 “f" Aie 'Рцз»
y2 = ^iee/tpij4 + А2е~а\2л + И3е“ср3,4 + ^4e“i<t?4,4-
A — постоянные интегрирования, <p — периодические функции у3.
Легко проверить, что выражение
9i,lflc, 2 ft,2fk,l “Ь '?<,з'р*,4 'Pi,4tP*,3
— нуль, за исключением двух следующих случаев:
i = l, к = 2; i = 3, к — 4.
В этих двух случаях это выражение сводится к постоянной, которую я могу предположить равной 1.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
105.
Положим теперь
Х1 = *14*1.1 + У[ъ, 1 + хг?з,1 + у'г<?4,1>
У1 = *&1.Ш + У^Ъ.З + Х2?3,2 +
Х2 = Х1?1,3 + у!? 2,3 + 2^3,3 + Уз?4, з.
»1 = *14*1.4 + ^2,4 + ^3,4 + Уг? 4,4-
Тогда мы видим, что
х1ау1 — ухйхг + х2йу2 — у2йх2 = х[йу[ — у[<1х\ + х'2(1у'2 — у'2йх2 + фйу3,
где ф — однородная квадратичная форма относительно х[, у[, х2, у'2, коэффициенты которой есть периодические функции у3.
Тогда, если мы положим
х3 ®з 2 • Уз ~ Уз'
выражение
ХуйУх + ^г/з + ж3<гг/з — х\йу\ — — х’3(1у'3
будет полным дифференциалом, а каноническая форма уравнений не-изменится.
Вид функции Е не изменится, только Е0 сводится к
кх3 -}- Ах1у1 -ф- Вх2у2,
где к, А и В — постоянные.
Если бы мы положили затем
I
*& = “!. 1ов-5-=2у1,
*1
#
*Ж = «1. 1о?^р-— 2у2,
то вычисления завершились бы, как в пунктах 275 и 276; мы пришли бьи к следующему заключению:
х{ и yi разлагаются по степеням е, трех постоянных а„, [30 и |3',.
е±<(Я1/+а,1), №аеп'‘+\ у/р^в"«/+Ч, у/р;е-(я2<+^).
Сами показатели пх, па и разлагаются по степеням е, а„, р„ и р'. Это обобщение тотчас прилагается, когда имеется п степеней свободы;, первый случай — случай предыдущего параграфа — соответствует тому, когда имеется ге+1 инвариантных соотношений и единственное линейное соотношение между средними движениями. Это — случай, которым мы. занимались в главе XIX.
Второй случай — случай настоящего пункта — соответствует тому, когда имеется 2п—1 инвариантных соотношений, определяющих истин-
106
Новые* методы небесной механики. III
