Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
?ное периодическое решение, и когда имеется п—1 линейных соотношений между средними движениями. Это — случай асимптотических решений, которые занимали нас в главе VII.
Однако имеются промежуточные случаи, когда мы имеем ге+д инвариантных соотношений и д линейных соотношений между средними движениями. Тогда х. и у( могут разлагаться по положительным или отрицательным степеням д вещественных и п—д мнимых показательных функций [81.
Связь с интегральными инвариантами
278. Итак, предположим, что канонические уравнения
йх< —гг —1 2 т
сгг — (2 — Щ
допускают периодическое решение следующего вида:
** = ?> (* + А)* У( = Ф* (* + 1г)< где /г — постоянная интегрирования; и пусть Т — период, так что ср< и разлагаются в ряды по синусам и косинусам кратных (I + Щ.
Рассмотрим решения, близкие к этому периодическому решению; они могут быть, согласно предыдущему, взяты в следующем виде: х{ и г/( ?будут расположены по степеням 2ге — 2 попарно сопряженных количеств, которые я обозначу
А1е“>*, Л'е-”1*,
А2е*г‘, А'ге~***,
А^“-'1, А'л_1ега*-^.
А и А' — произвольные постоянные интегрирования; сами показатели а .могут разлагаться по степеням А^А^, А^А^, ..., А^А^.
Кроме того, коэффициенты разложения xi и у( — периодические функции г + л с периодом Т. Эти коэффициенты (так же, как и показатели а) -зависят, помимо того, от постоянной живых сил С.
Мы знаем, что существует интегральный инвариант
( ^ ^х^у{, (2)
•откуда вытекает, что если Р и у — две постоянные интегрирования, мы должны иметь
у/<2^ ^ <2уЛ .
2Л<2? <27 <2р Л
Интегральные инварианты и асимптотические решения
107
Мы сможем написать это уравнение в другой форме; предположим, что мы даем |3 приращение 83 и что отсюда для х., у., А^*\ . . . получаются приращения
8а:,., Si/,-, оЛ,е**', -
Предположим, с другой стороны, что мы даем -f приращение 8'^ и что отсюда для xv у{, ... получаются приращения
З'а:,-, b'Vi..
Наше уравнение запишется в виде
2 — 8у$'х.) = const. (3)
Правая часть — постоянная; я хочу сказать, что это — функция постоянных интегрирования, умноженная па 8^8'^.
Но мы, очевидно, имеем
ЪАел‘ = е*‘ {ЬА + Ж8я).
С другой стороны,
^=^sc+S“+27(5fc)M«e'*'+27(
Мы видим, таким образом, что оа\ и 8у{ имеют следующий вид:
Зу< = -'1< + ^1,<; b'yi = ’rl'i +
Ьх. = Е{ + tllt (; Vx( = V. + tVlt
где т],., Tjj ,. линейны относительно 3С, 8h и 8Аел1, ЪА’е~а*ш, с дру-
гой стороны, они разлагаются по степеням Аеи А'еи по синусам
и косинусам кратных ^-(t-\-hi). Мы легко найдем выражения 8'а:,., 8'yf;
достаточно заменить 8 на 8' в выражениях 8^ и 8у.. Мы видим, что уравнение (3) можно написать в виде
D -f- Et + Ftz = const,
где
D = 2
? = 2 (tol, < — t + Elf t\ — s;. ,.7i,.),
^ = 2(Ei.t7ii.4 —
108
Новые методы небесной механики. III
разлагаются по степеням Aeat, А'е ai и по синусам и косинусам кратных
2 71
-у (t -f- h) и, с другой стороны, билинейны относительно
ЪАел‘, 3 4'еЛ 8 С, 8/г, 3 'Ае*‘, 8 'А'е-"1, 8 'С, о 'h.
Так как левая часть должна быть независимой от t, мы будем иметь прежде всего
E = F = 0,
что уже доставляет определенные контрольные соотношения, которым должны удовлетворять разложения Xf и у(.
Далее, D должно быть независимым от t\ следовательно, оно будет линейным относительно следующих определителей:
ЪАкЪ'А'к-Ъ'АкЪА'к,
А'кА'.(ЬАкЪ'А.-Ы/'Ак),
А'кфАкЬ'С — Ъ'АкЪС), (4)
Ак фАкЬ'Н — Ъ'АкЩ, ?Cb'h — b'C?h
(или относительно аналогичных определителей, выведенных из первых перестановкой Ак и А'к или А ? и Л'.).
Коэффициенты будут разложены по степеням ЛЛЛ^ и зависеть, кроме того, от С.
В самом деле, время должно исчезнуть. Показательные функции должны, следовательно, исчезнуть; это может произойти только, если каждый множитель Аеь умножен на Л'е-4, или на ЗЛ'е’®*, или на Ь'А'. Отсюда можно вывести новый ряд контрольных соотношений.
279. Среди показателей ак одни мнимые, другие вещественные; среди последних одни положительны, другие отрицательны. Но так как из двух равных показателей противоположного знака я могу произвольно выбрать тот, который называю лк, то я не ограничу общности, предполагая, что ак положительно, если оно вещественно.
Теперь обратим в пуль коэффициенты Ак, которые соответствуют мнимому или положительному показателю.
Тогда, если ак — вещественно, будем иметь
Лл = 0, Ак^= 0,
и, если ак — мнимое,
Ак = А’к = 0.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
109
Кроме того, я положу
С=С0,
где С0 — значение постоянной живых сил, которое соответствует рассмат-риваемому периодическому решению.
Тогда наши ряды становятся сходящимися и представляют асимптотические решения, которые мы изучили в главе XII. Они содержат в качестве произвольных постоянных А и А'к, которые соответствуют отрицательным показателям.
Следовательно, мы будем иметь 2п, равенств, которые выразят х( и у{ в функции t и этих постоянных А и А'к. Если из этих 2п равенств мы исключим /, А и А'к, получим определенное число инвариантных соотношений между X. и уг
Если множество значений х< и у( рассматривать как точку в пространстве 2п измерений, то эти инвариантные соотношения представляют определенное многообразие V этого пространства; я назову это асимптотическим многообразием.
