Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Однако ни изобретательность, ни способность к рассуждениям не получают пищи, если мотивировка и цель наиболее бросающегося в глаза шага остаются неразъясненными. Большого труда и времени требует разъяснение каждого шага при помощи надлежащих замечаний (как в п. 3) или тщательно выбранных вопросов и советов (как в
74
пп. 10, 18, 19, 20). Но такие разъяснения могут стоить затраченного труда.
Геометрические фигуры. Геометрические фигуры являются предметом исследования в геометрических задачах; однако они оказывают существенную помощь и при решении самых разнообразных задач, в которых вначале нет ничего геометрического. Таким образом, существуют два важных основания, побуждающих нас рассмотреть роль геометрических фигур при решении задач.
1. Если мы имеем дело с геометрической задачей, мы должны рассмотреть некоторую геометрическую фигуру. Эту фигуру мы можем либо представить в нашем воображении, либо изобразить на бумаге в виде чертежа. В некоторых случаях может оказаться желательным вообразить фигуру, но не чертить ее. Однако, если нам предстоит рассматривать одну за другой различные детали, полезно сделать чертеж. Если деталей много, мы не в состоянии вообразить их все одновременно, тогда как на бумаге все они будут собраны воедино. Деталь, которую мы воспроизвели мысленно, можно забыть; та же деталь, изображенная на бумаге, сохраняется, так что мы в любой момент можем к ней вернуться вновь. Возвращаясь к ней, мы восстанавливаем в памяти ранее проведенные рассуждения, зрительное восприятие этой детали в значительной степени облегчает работу.
2. Рассмотрим теперь подробнее роль, которую играет чертеж при решении геометрических задач на построение.
Мы начинаем подробно рассматривать подобную задачу, сделав предварительно чертеж, содержащий неизвестное и данные, связанные между собой так, как это предписано условием задачи. Чтобы отчетливо представить себе задачу, мы должны рассмотреть каждое данное и каждую часть условия в отдельности; затем мы объединяем все части, рассматривая условие как единое целое. При этом мы пытаемся одновременно охватить взглядом все многообразные связи, предписанные условием задачи. Едва ли оказалось бы возможным оперировать этими многочисленными деталями, разделять и вновь объединять их, если бы у нас перед глазами не было сделанного на бумаге чертежа.
С другой стороны, пока задача окончательно не решена, нас не покидает сомнение в том, можно ли вообще построить искомую фигуру. Можно ли полностью удовлетво-
75
рить условию задачи? Мы не имеем права сказать «да», не получив окончательного решения. Тем не менее мы допускаем, что это возможно, и делаем чертеж, на котором данные и неизвестные связаны так, как это предписано условием. Может показаться, что, делая такой чертеж, мы принимаем ничем не оправданное допущение.
Но нет, это не так. Вернее, не всегда так. Мы поступаем правильно, если при рассмотрении задачи допускаем возможность существования объекта, удовлетворяющего условию, наложенному на неизвестное, и находящегося в требуемых отношениях к данным. При этом мы не должны лишь смешивать возможность существования такого объекта с уверенностью в его существовании.
Нельзя назвать неправильными действия судьи, который при допросе обвиняемого допускает, что обвиняемый мог совершить данное преступление, если только судья не оказывается в плену своего же собственного предположения. И математик и судья могут рассматривать возможность, не имея никакого предвзятого мнения и откладывая свое окончательное суждение до момента, когда исследование приведет к некоторому определенному результату.
Метод подхода к решению задач на построение, заключающийся в набрасывании чертежа, на котором условие предполагается выполненным, восходит еще к греческим геометрам. Идею этого метода мы можем усмотреть в коротком, несколько загадочном высказывании Паппа: считай сделанным то, что нужно сделать. Следующий совет не столь лаконичен, но зато более ясен: начерти предположительную фигуру, допустив, что условие задачи полностью выполнено.
Эта рекомендация касается геометрических задач на построение, но в действительности нет нужды в подобном ограничении. Мы можем распространить эту рекомендацию на случай любой «задачи на нахождение», сформулировав ее в следующей общей форме: рассмотрите предположительную ситуацию, допустив, что при этом условие задачи полностью выполнено.
Сравните П а п п, п. 6.
3. Сделаем несколько замечаний относительно фактического выполнения чертежей.
(I) Как следует выполнять чертеж — точно или приблизительно, при помощи чертежных инструментов или от руки?
76
Оба вида чертежей имеют свои преимущества. В принципе точные чертежи играют в геометрии такую же роль, как точные измерения в физике. Практически, однако, точные чертежи менее важны, чем точные измерения, ибо существуют более широкие возможности проверки геометрических теорем по сравнению с возможностями проверки физических законов. Начинающему, однако, рекомендуется выполнить большое число чертежей с максимальной точностью, чтобы приобрести для своих знаний хорошую экспериментальную основу; точный чертеж может натолкнуть на открытие геометрической теоремы, даже весьма тонкой. Тем не менее для проведения рассуждений обычно оказывается достаточно чертежа, тщательно выполненного от руки; к тому же и выполнение его занимает куда меньше времени. Конечно, чертеж не должен выглядеть абсурдно; прямые линии не должны быть волнистыми, а окружности не должны напоминать картофелины.
