Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
5. Неполные доказательства. Лучший способ разрешения дилеммы между слишком тяжеловесными полными доказательствами и уровнем поваренной книги заключается, вероятно, в том, чтобы разумно пользоваться неполными доказательствами.
Для строгого логика неполное доказательство вообще не доказательство. И конечно, следует делать четкое разграничение между неполными и полными доказательствами. Путать одно с другим плохо, а выдавать одно за другое еще хуже. Неприятно, когда автор учебника нечетко преподносит неполное доказательство, с явными колебаниями между стыдом и претензиями на полноту доказательства. Но неполные доказательства могут быть полезны, когда они к месту и когда ими пользуются с чувством меры. Их цель не заменять полные доказательства, чего они никогда не смогут сделать, а придать изложению интерес
89
и связать отдельные части всего рассуждения в единое целее.
Пример 1. Алгебраическое уравнение п-й степени имеет ровно п корней. Эту теорему, называемую основной теоремой алгебры (Гаусса), часто приходится давать учащимся, которые совершенно не подготовлены к восприятию ее доказательства. Однако им известно, что уравнение первой степени имеет один корень, а уравнение второй степени — два корня. Кроме того, у этой трудной теоремы есть часть, которую легко доказать; никакое уравнение п-й степени не имеет больше п различных корней. Составляют ли приведенные факты полное доказательство основной теоремы алгебры? Никоим образом. Этих фактов, однако, достаточно, чтобы придать теореме некоторый интерес и правдоподобие и закрепить ее в памяти учащихся, а это самое главное.
Пример 2. Сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего. Теорема сводится, очевидно, к утверждению, что в сферическом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей.
Заметив это, мы естественно вспоминаем об аналогии сферического треугольника с прямолинейным треугольником. Составляют ли эти замечания доказательство? Никоим образом. Но они помогают нам лучше понять и запомнить предложенную теорему.
Наш первый пример представляет исторический интерес. Примерно в течение 250 лет математики принимали основную теорему на веру, без полного доказательства. Доводов у них было по существу не больше, чем те, которые мы привели выше. Наш второй пример указывает на а н а-л о г и ю как на важный источник догадок. В математике, как и в естественных и физических науках, открытие часто берет свое начало в наблюдении, аналогии и индукции. Эти средства, использованные с должным чувством меры при построении правдоподобного эвристического доказательства, особенно привлекательны для физиков и инженеров (см. также «Индукцию и математическую индукци ю», пп. 1, 2, 3).
Наше изучение процесса решения до известной степени объясняет роль неполных доказательств и интерес к ним. Опыт в решении задач показывает, что первая идея какого-нибудь доказательства очень часто неполная. Основная мысль, главная связь, зерно доказательства возможно и заключены в этой первой идее, но детали должны быть
90
даны впоследствии, и они часто доставляют нам много хлопот. Некоторые искусные авторы умеют преподнести лишь зерно доказательства, главную идею в ее наиболее простой форме и указать на характер недостающих деталей. Такое доказательство, пусть неполное, может быть намного поучительней, чем полное доказательство со всеми подробностями.
Одним словом, неполные доказательства могут быть использованы как мнемотехнический прием, но, конечно, не как заменители полных доказательств, когда наша цель — дать достаточно связное изложение и когда не требуется строгая логическая последовательность изложения.
Очень опасно отстаивать неполные доказательства. Несколькими правилами можцо свести к минимуму возможные злоупотребления этими доказательствами. Первое правило: если доказательство неполное, то это надо каким-то образом отметить. Второе: автор или учитель имеет право давать неполное доказательство теоремы лишь в том случае, если сам хорошо знаком с полным доказательством.
И надо признать, что не так уж легко преподнести неполное доказательство с должным чувством меры.
Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?
Едва ли можно представить себе совершенно новую задачу, не похожую ни на одну из ранее решенных задач и не связанную ни с одной из них. Если бы такая задача существовала, она была бы неразрешимой. Действительно, решая любую задачу, мы всегда извлекаем пользу из ранее решенных задач, используя их результаты или методы, которыми они решались, или опыт, приобретенный нами при их решении. Конечно, задачи, которые мы используем, должны быть как-то связаны с данной задачей. Поэтому уместен вопрос: известна ли вам какая-нибудь родственная задача?
Обычно не представляет особого труда вспомнить несколько решенных ранее задач, более или менее связанных с данной. Напротив, таких задач может оказаться слишком много, так что возникнет другая трудность: как из них выбрать задачу, которая окажется действительно полезной?
Мы должны осмотреться вокруг в поисках задач, наиболее тесным образом связанных с данной задачей; при этом мы рассматриваем неизвестное или ищем ранее решенные задачи, которые получаются из данной путем обобщения, специализации или аналогии.
