Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Соображения, которыми мы руководствуемся, вводя вспомогательные элементы, могут быть самыми разнообразными. Нас радует, если нам удается вспомнить задачу, сходную с нашей и уже решенную. Вполне вероятно, что эту задачу можно использовать, но мы еще не знаем, как это сделать. Например, мы пытаемся решить геометрическую задачу. Пусть в некоторой сходной задаче, которую мы решили прежде и теперь вспомнили, речь идет о каких-
71
то треугольниках. Однако на нашем чертеже нет ни одного треугольника. Чтобы можно было извлечь пользу из найденной нами вспомогательной задачи, чертеж наш должен содержать некоторый треугольник.
Итак, мы должны ввести такой треугольник, дополнив чертеж подходящими вспомогательными отрезками. Вообще, если мы вспомнили ранее решенную сходную задачу и хотим извлечь из нее пользу при решении данной задачи, нам приходится задавать вопрос: нельзя ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей? (Пример из п. 10 является типичным.)
Возвращаясь к определениям, мы снова сталкиваемся с необходимостью вводить вспомогательные элементы. Например, давая определение окружности, мы должны не просто упомянуть о ее центре и радиусе, а указать их на рассматриваемой фигуре. В противном случае мы не сможем извлечь никакой конкретной пользы из этого определения; формулировать определение и при этом ничего не чертить означает заниматься пустыми разговорами.
Попытки использовать известные результаты и возвращение к определениям — наиболее обычные мотивы, заставляющие вводить вспомогательные элементы; но они не единственны. Наша точка зрения на задачу может изменяться, дополняясь новыми элементами, делающими ее более полной, теснее связанной с ранее приобретенными знаниями и в большей степени способной подсказать пути к решению. Однако, добавляя новые элементы, мы зачастую сразу не в состоянии отдать себе отчет в том, как мы сможем их использовать.
Мы можем просто чувствовать, что напали на «блестящую идею», состоящую в том, чтобы по-новому взглянуть на задачу, дополнив ее определенными вспомогательными элементами.
Повод, заставляющий вводить некоторый вспомогательный элемент, может быть тем или иным, но такой повод должен иметься. Не следует вводить вспомогательные элементы, не имея к тому никакого повода.
3. Пример. Построить треугольник, если задан угол при одной из его вершин, высота, проведенная из этой же вершины, и периметр.
Мы вводим подходящие обозначения. Обозначим через а данный угол, через А—данную высоту, проведенную из вершины
72
Л, угол при которой равен а, и через р—данный периметр.
Мы делаем чертеж, на котором отмечаем а и А. Все ли данные мы использовали? Нет, на чертеже нет никакого отрезка длины р, равной периметру треугольника. Поэтому мы должны ввести р. Но как?
Мы можем попытаться ввести р различными способами. Попытки, изображенные на фигурах 11, 12, производят
впечатление неуклюжих. А Пытаясь уяснить причину этого, мы приходим к заключению, что причина — в отсутствии симметрии.
В самом деле, в треугольнике неизвестны три стороны a, by с (мы, как А
h
P
Фиг. 11. Фиг. 12.
обычно, через а обозначаем сторону, противолежащую углу Л). Нам известно, что
а-\-Ь-{-с=р.
Итак, стороны Ь и с играют одну и ту же роль; их можно поменять ролями; наша задача симметрична по отношению к сторонам b и с. Однако b и с не играют одинаковой роли на фигурах 11 и 12. Вводя длину р, мы неодинаковым образом поступили по отношению к b к с. Фигуры 11 и 12 разрушают естественную симметрию задачи по отношению к b и с. Мы должны ввести р симметричным образом по отношению к b и с.
Приведенное соображение может натолкнуть нас на мысль ввести отрезок длины р так, как показано на фигуре 13. На продолжении стороны а мы откладываем отрезок CE длиной b в одну сторону и отрезок BD длиной с— в другую сторону. Таким образом, на чертеже (фиг. 13) оказывается построенным отрезок ED длиной
Ь-\-а-{-с=р.
73
Обладая хотя бы самым небольшим опытом решения задач на построение, мы не преминем ввести наряду с ED вспомогательные отрезки AD и AE, каждый из которых является основанием равнобедренного треугольника.
Действительно, в задачу всегда имеет смысл ввести особенно простые и знакомые элементы; такими элементами и являются равнобедренные треугольники в рассматриваемом случае.
Мы очень удачно ввели вспомогательные отрезки. Исследуя полученную фигуру, мы обнаруживаем простое соотношение, связывающее /EAD и данный ^/а. Действительно, используя равнобедренные треугольники ABD
и АСЕ, мы находим, что ^/ОЛ?=|-+90о. После этого
замечания оказывается естественным попытаться построить j/\DAE. Таким образом, решение исходной задачи сведено к D решению некоторой — значительно более легкой — вспомогательной задачи. 4. Учителям и авторам учебников не следует забывать, что вдумчивый учащийся и вдумчивый читатель остаются неудовлетворенными, если им предлагается готовое рассуждение, в котором проверен каждый шаг, —они хотят знать основания и цель каждого предпринимаемого шага. Введение вспомогательного элемента есть шаг, сразу бросающийся в глаза. Если хитроумная вспомогательная линия появляется на чертеже внезапно, без всякой мотивировки, и задача неожиданно оказывается решенной, вдумчивый учащийся или читатель испытывают разочарование и чувствуют себя обманутыми. Математика интересна тогда, когда дает пищу нашей изобретательности и способности к рассуждениям.
