Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
63
Подобные цепочки задач обратили на себя внимание еще греческих математиков, как об этом свидетельствует одно место у Паппа. В качестве иллюстрации мы снова рассмотрим пример 1. Назовем (А) условие, наложенное на неизвестное х:
(A) ^—13^ + 36 = 0.
Один из путей решения состоит в том, что мы преобразуем это условие в некоторое другое, которое назовем (В):
(B) (2х2)2 — 2 (2х2)-13 + 144 = 0.
Заметим, что условия (А) и (В) различны. Они, если так можно сказать, лишь слегка различны; они, конечно, эквивалентны, как легко убедиться, но они безусловно не идентичны.
Переход от (А) к (В) не только законен, но имеет ясную цель, очевидную для всякого, кто знаком с решением квадратных уравнений. Действуя в том же направлении дальше, мы снова преобразуем условие (В) в некоторое другое условие (С):
(C) {2х2)2 — 2 (2х*) .13+169 = 25.
Продолжая действовать подобным образом, мы последовательно получаем:
(D) (2jc2 — 13)2 = 25;
(E) 2х2 — 13 = ±5; (P) » 13 ±5
(G)
(H) х = 3, или — 3, или 2, или — 2.
Каждая из редукций, осуществленных нами, была обратимой. Поэтому последнее условие (H) эквивалентно первому условию (А), так что числа 3,— 3, 2,—2 представляют собой все корни исходного уравнения.
Итак, выше мы получили из исходного условия (А) последовательность условий (В), (С), (D), каждое из которых было эквивалентно предыдущему. Этот пункт заслуживает самого пристального внимания. Дело в том, что эквивалентные условия удовлетворяются одними и теми же объектами. Поэтому, найдя все решения, удовлетворяющие
69
новому, эквивалентному условию, мы получаем все решения, удовлетворяющие исходному условию. Но при переходе от первоначального условия к более узкому условию мы теряем решения, а при переходе к более широкому условию мы получаем лишние, побочные решения, не имеющие ничего общего с исходной задачей.
Если, осуществляя последовательные редукции, мы переходим сначала к более узкому, а затем к более широкому условию, мы можем совсем потерять следы исходной задачи. Чтобы избежать этой опасности, мы обязаны тщательно проверять каждое вновь вводимое условие, выясняя, эквивалентно ли оно первоначальному условию. Этот вопрос приобретает еще большую важность, если мы имеем дело не с одним уравнением, а с системой уравнений, или если условие не выражено уравнениями, как, например, в геометрических задачах на построение.
(Сравните П а п п, особенно пп. 2, 3, 4, 8. На странице 134 описана цепочка «задач на нахождение», в каждой из которых имеется свое новое неизвестное. Такая именно структура цепочки не является необходимой. Пример, рассмотренный только что, отличается противоположной особенностью: все задачи цепочки имеют одно и то же неизвестное и отличаются лишь формой условия. Конечно, ни одно из этих ограничений не является необходимым.)
8: Односторонняя редукция. Пусть у нас есть две задачи, А и В, ни одна из которых не решена. Если бы мы смогли решить А, то мы оказались бы в состоянии получить полное решение В. Но не наоборот: если бы мы смогли решить В, мы бы, возможно, получили некоторые сведения относительно А, но не были бы в состоянии, зная решение В, получить полное решение А. В этом случае решение А дает больше, чем решение В. Будем называть А более результативной1, a В менее результативной задачей.
Если от исходной задачи мы переходим к более результативной или менее результативной задаче, такой шаг мы называем односторонней редукцией. Оба вида односторонней редукции являются в некотором смысле более рискованными, чем двусторонняя (обратимая) редукция.
Наш пример 2 иллюстрирует одностороннюю редукцию к менее результативной задаче. В самом деле, если бы мы
1 Примечание переводчика. В подлиннике: more ambitious (дословно «с большими претензиями»).
70
могли решить исходную задачу о диагонали параллелепипеда с ребрами a, ft, с, мы бы без труда перешли к вспомогательной задаче, положив с =0 и получив прямоугольник со сторонами а и Ь. Другой пример односторонней редукции к менее результативной задаче дан в статье «С п е ц и а л и з а-ц и я», пункты 3, 4, 5. Эти примеры показывают, что нам может посчастливиться извлечь пользу из менее результативной вспомогательной задачи, вводя некоторое дополнительное рассмотрение, которое приводит нас к решению исходной задачи.
Односторонняя редукция к более результативной задаче также может принести пользу. (См. «Обобщение, п. 2, а также редукцию от первой ко второй задаче в статье «Индукция и математическая индукция, пп. 1, 2.) Оказывается, более результативная задача может быть более легкой —в этом состоит Парадокс изобретателя.
Вспомогательные элементы. В конце работы над задачей наше представление о задаче в целом значительно полнее, чем в начале (см. «Продвижение и достижение», п. 1). По мере продвижения вперед мы добавляем новые элементы к первоначально рассматривавшимся элементам. Элемент, который мы вводим в надежде, что он поможет продвинуть вперед решение задачи, называется вспомогательным.
1. Существуют различные виды вспомогательных элементов. Решая геометрическую задачу, мы можем дополнить чертеж новыми линиями — вспомогательными лини-ями (отрезками). Решая алгебраическую задачу, мы можем ввести вспомогательное неизвестное (см. «Вспомогательные задачи», п. 1). Вспомогательной теоремой называется теорема, доказательство которой мы проводим в надежде при ее помощи приблизиться к решению исходной задачи.
