Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
27
43.
44.
где
причем а > Ъ > О где
__і_ __i_ __i_
(a+ X) 2 (Ь+х) 2 +{д —X) 2 (х — Ь) 2
_ _i_ _J_ _J_ __L
_(а + х) 2 (х + Ь) 2 — (а — х) 2 (х — Ь) 2
X = Yab, (\+-х-*)-2 + (\-х-*)-\
причем п > 1.
45.
YT+x + Ух + Ь Y~a+^ — Y~x~+~b 9
где
1 v>
X = ~r Z-
(a — b)2 а + Ь ,
46.
4z* 2
і
числа а w b — действительны и z^\a — b\2.
1 — ах
Vl
+ Ьх
где
Ьх '
и 0 < а < b < 2а.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
1 + ах
Г|Г(я2+1)|/~ I+^ +]Г(^-1) ,
где /г > 1.
(1_*2) 2 +1
+
где
д: = 2/г- (1 + *) И ? > 1 ]/" 1 — д .
/! + а+/ 1-а Y1
где
где
О < а < 1.
YJa7T^(X + b) + Y(^x) (X - Ъ) Y (a+ X) (X+ b) — YJa-х) (х — Ь) '
x = Y~ab, aybyO.
Sx JjIZT) Yx^i , ту"^Г1"з7-- (Х2 __ і) yjnz\
9 "Г" Г " 9
где X — действительное число, причем [ X I 2. Вычислить
где
Y'pip — a) (p — b) (? — c)9
2p = a+-b-+c, а = 1/"(^2 — x3)2 + (у2 — уъ)2 ,
Алгебра. Гл. III. РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Преобразовать результат к функции, рациональной относительно X1, ylt х2, Уг> хз> Уз-
53. Вычислить где
V P {р — а) (P — *) (р — с), 2р = а + ? + с, a = V (X2 — X3)2 + (y2 — у3)2 + (Z2 — z3)2, Ъ = V(X3 - X1)2 + Cy3 - Уі)2 + (Z3 - Z1)2, с = V(X1 - х2)2 + (Уі - у2)2 + (z1 - Z2)2.
Преобразовать результат к виду "l^P2+ Q2+ У?2, где Р* Q и /? — рациональные функции от xt, jz1, ^1, х2, у2, Z2, х3, jz3, z3. Получить отсюда (при z1 = z2 = z3 = O) результат предыдущей задачи.
§ 2. Условные тождества. Преобразование равенств, содержащих иррациональные выражения
h Доказать, что если
VX2-+V^y2+Vу2 Л-Vx^y^= а%
то
2 2 2
X 3 -\~ у 3 = а 3 . Избавиться от иррациональности в следующих равенствах:
2. f"a-\-V~b-\-c = 0.
3. f?-ff^-u^o.
4. /7^ + ^^ + /- = 0. 5**.. V~a + V ~Ь + V~c ++ /"і = 0.
6. (ах)3 + (by)3 = с 3 .
J_ / 2_ _2_\ 2
7. (xjz)3 \x 3 + jz3 j = a2, a > 0, x > 0, jz > 0.
/ 2 2 \ 2 2
8. " ' \xT + УТ)xTyT = a2.
9. (X2 + y2)2 = [(ax)* + (fty) з-] [(ax)"3" — (by)T].
10. Доказать, что если
то
(y-z)y\ — x3 + (z — x)V 1 —3z3 + (x —^)F 1 -z3 = 0. (1 —x3)(l -У)(1 — z3) = (l — xyz)3.
Глава IV
ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Эквивалентность уравнений
1. Верно ли утверждение, что уравнения
/ (л:) = 0 и /(х)?(х) = 0
эквивалентны. Привести пример, когда
а) эти уравнения эквивалентны;
б) все корни уравнения / (х)=0 являются корнями уравнения / (х) <р (х)=0. но не все корни уравнения f(x)y(x) = Q являются корнями уравнения /(х) = 0;
в) все корни уравнения /(х)ср(х) = 0 являются корнями уравнения f(x) = 0, но не все корни уравнения /(х) = 0 являются корнями уравнения /(х)ср(х) = 0.
2. Могут ли уравнения /(х) = 0 и f(x)y(x) = 0 не иметь общих корней?
3. Могут ли уравнения
/(X) = O и /(*) + <?(*) = ?(*)
быть неэквивалентными?
4. Даны два уравнения: fx(x) = f2(x), f1(x)-\~f3(x) = f2(x)-r-f3(x). Какоз из этих уравнений есть следствие другого (мы говорим, что уравнение B = O есть следствие уравнения А = 0, если все корни уравнения Л = 0 являются корнями уравнения B = O)?
5. Какое из уравнений:
Щ=fj$tи лw/.(*)=/.(*>/.(*)•
есть следствие другого? При каком условии эти уравнения будут эквивалентны ?
6. Даны два уравнения:
U(x) А(х)
А(х) = Z1(X)+U(x) U(x) /а (X) +U(X)-
а) При каком условии второе уравнение есть следствие первого?
б) При каком условии первое уравнение есть следствие второго?
в) При каком условии эти уравнения эквивалентны?
7. Даны три уравнения:
U (X) U (X)
U (X) U (X) ' U (X)+ U (X) U (X)+U (X) U(x)-U(x) U(X)-U(X)'
U(X)-U(X) /,(X)-U(X)
U (X)+U (X) U (X) + U (X)'
зо
Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Доказать, что из первого уравнения следует либо второе, либо третье (либо и то и другое).
8. Будут ли эквивалентны уравнения
/(X) = O и Yf(X) = O.
9. Будут ли эквивалентны уравнения
VfTx)Vv(X) = O и Yf (х) ? W = O.
10. Будут ли уравнения
YhJs) = У7Лх) VfAx) Vh(x)
и
VTiJx) - VhW) = YTJJx) - VfTW) Yh (x) + Vf2(x) Yh(x) + Vh(x)
эквивалентны (над полем действительных чисел)?
11. Верно ли утверждение, что уравнения
VTiJx) = VfJIx) YfJTx)+ YhJx) _ YhJxl + Vh(x)_ Yh(x) Vh(x)' Vh(x)-Vh(x) Vh(x)-Yh(x)
эквивалентны (над полем действительных чисел).
12. Верно ли утверждение, что уравнения
VhTx) = tJAx)
Vh(x) Vh(x)
и
VhJx) - VhJx) = VhTT) - VhU)
' 'Vh(x)+Vmx) VMx)+Vh(x)
эквивалентны (над полем действительных чисел).
13. Будут ли следующие уравнения эквивалентны (над полем действительных чисел). Установить также, при каких условиях они эквивалентны:
а) /(X)=I, log/(x) = 0;
б) /(х) = ср (х). log /(X) = log ср (х);
в) / (X) = ср (х), JogJ/ (X) — ср (X) + 1 ] = 0;
г) /(X) = O1 Vf(X) = O;
д) /(х)ср(х) = а, f(x):
<t(x)>
е) /(х) = 0, arc sin/(х) = 0;
