Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3 П. С. Моденов
34 Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 2. Доказательство неравенств
Доказать следующие неравенства (я — целое положительное число):
1. ' Л,<(4:І)Л' л>!-
2. (2п — I)II < /г > 1.
/г
3. /г!>/гт, п>2.
4. /г! > 2/г"\ п>2.
23.
б. 2" > і + л Кг4"1, « > і.
(2-і)(=~і)-(^-ї!?і)>і. »>¦¦
7... a.«'«>(4-i^v(s5i)-,...(jirf)'i. .>..
8. (яІЯ<р + Д<2"-+'']", »>1.
10. У/г4- 1 < Vn1 п>2.
11. V^+^^Vn, л>2.
12. (2/г— 1)!</12я-1, /г > 1. 13 1-3-5... (2/1-1) 1
""2-4-6... (2/г) " /2/г "-ff"
14. 3-7-П ...(An -Л) ^ „f"_J~
5-9-13 ... (4/г -[- Г) ^ г 4л-1-3"
is. і +і + • -f^<a.
16. (і +4)я<з.
17. iogl0(i+!)<!.
18*. 2"-я!</*'1, п > 5.
19*. 3/z . /г I > /і".
20**. (2/г) 1< [п (а + \)]п, п > 1.
2Vn ^ 2 ' 4 " 6 " ' ~2яГ ^ /?* 22. (2л)! < (?^+1)-Я .
I+ а . 2 2 < 2'г, /г > 1.
л (я-И)
24**. 1 - 22-33.44... /г"<(?^Ы) 2 .
25*. J-. A . A . . . 2^-1 < 1
ОС
2 4 б 2п ^ Узп 41
1 3 5 99 ^ 1
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
35
или б?
27. Найти наибольшее значение
V Ti.
где п — целое положительное число.
28. Какое из двух чисел больше,
3/7+5/2 Vb
29. Доказать, что при достаточно большом п сумма
\ і a '- ¦¦ ¦ I-
может быть больше любого заданною числа,
30. Какое из двух чисел больше:
а) 300! или 10 0 300?
б) 200! или 10 0 200?
31. Дан ряд чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
в котором первые два чиста равны 1, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих. Доказать неравенство
32. Доказать, что если а > 0, ft > 0 и а Ф Ь, то
а6 + ft6 > a5ft + ft5a.
33. Доказать, что если a > 0, ft > 0, с > 0, ft -f с > я, с + a. > ft, a + ft > с, то
2 («ft I be + с«) > a2 ¦ f- /г2 -f- с2.
Доказать следующие неравенства; установить, при каком условии имеет место знак равенства.
34. ab -f- ас -}- ftc < «24...../;2 -} г2.
35. я2 (1 4 ft2) 4 ft2 (1 ! с2) \- с~ (1 + а2) > Gaftc,
36. Доказать, чго если b -\ с > а, с -|~ a > ft, a j- ft > с то
(л2+ ft- -I C2J (я -f ft I с) > 2 (а3 4 ft+ г3).
Доказать, что если а, Ь, с, d — положительные неравные друг другу числа (задачи 37—40), то
37. а3 + Л3 + ?3 > 3^-
38. (а + Ъ \- с + rf)* > ШигЬса.
39. + ft2^/ + Л/ft + d2ftc > \abcd.
40. (a + b + с) (a2 + ft2 + с2) > 9abc.
41. Доказать, что если все числа A1, я2, ап положительны, то
42. Доказать, что если а > 0, ft>0, с>0, афЬ, b Ф с, с Ф а и a +#>?, то
a3 + /Я 4- с3 + ЪаЬс > 2 (a + ft) с2.
43. Доказать, что если а > 0, ft > 0, с > 0, то
.1,1,1^ 1 , 1 . 1
а)--h - + - ,> - , + - -= + -г=;
а о с у ос У са У ab
б) ]/"++\; V« г
при каком условии имеет место знак равенства?
3*
36
Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
44. Доказать, что если а > 0, b > О, а >/?, то
Доказать, что если а > 0, ? > 0, г > 0, афЬ, Ьфс, с Ф а (задачи 45—58), то
45. 3 (be -j- са -j- ab) < (a 4 # + ^)2-
46. (а +Ь + с)^ + ^ + !^ > 9.
47. а2/?2 4 /'2^24~ > (я + Ь-фс).
48. (fo ~f са 4- а/?)2 > Зя/><: (a -j- ? + с).
49. а4 f - ^ т- с* > ab с (a 4 /; -f - г).
50. а?с ;>(b-\-c - а) (с \- a -b)(a ^b --- с).
51. 2 (а3 -f- />3 + г3) > а/; (а -f /0 4 be (b 4 г) f с а (о 4- с).
а і b , с ^ 3
53. 3 (a* -f b3 4 с3) > (а -и b 4 с) (а/7 4 be + ся).
54. o-4-2tf?4- З/?2 >0.
55. (а 4 /7) (/? 4- г) (с 4 а) > 8а/?б\
56. 8 (а3 т /?3 4 с-') > 3 4- с) (с 4 а) (а ф- Ь).
57. 27а/;с < (а 4- Л 4 с)3 < 9 (а3 -f - /;3 4 г3).
°8, b + c^ c+a^a + b ^ а + Ь + с'
Доказать, что если а, Ь, с—целые положительные числа, причем афЬ, b Ф с и с Ф а (задачи 59—61), то
а ь с
59. а~а"Гь~Гс . fjaTTT? . са~~ь~с у (а _^ ^ ^ су
61. (/> + с)я (с4-а)* (а 4^)Г < [y(fl + ft4"0]e+ft"
62. Доказать, что если а > 0, ? > 0, г > 0, flf > 0, то
V(a+THb + d) > Vab + У74
При каком условии имеет место знак равенства?
63. Доказать, что если а > 0, b > 0, с > 0, то
2 (а3 4- Ь:] 4 с3) > а2 (Ь 4- с) 4 "2 (с+ а) + с2 (а 4 А).
При каком условии имеет место знак равенства?
64. Доказать, что а4 4 Ь* ~> a3b ф- abs (а и /7 — действительные числа).
65. Если а > b > 0, то
~ Ы ^ ' 2 " ~ К ^ ^ " Sb '" "
66. Доказать, что если а . - 0, b У ¦ 0, г • 0, то
а/7 (а 4" ^1) ^ 4 с) 4 ^ (с ~г а) 6а/?с. При каком условии имеет место знак равенства?
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
37
67. Доказать, что если я, ft и с — целые положительные числа, причем Ь-\-с>а, с + а^>Ь, а + Ь>с, то
('++И'+'¦?)'(> ++)'<'¦
При каком условии имеет место знак равенства?
68. Доказать, что
(Va 4- VTf > 64а* (а 4- ft)2,
где а > 0, ft > 0.
69. Дано
•>о. »>о. (^)*<i:
доказать, что в таком случае, если одно из чисел, а или ft, болыиг 1, то другое меньше 1.
