Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ñïåöèàëüíîìó êóðñó ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè - Ìîäåíîâ Ï.Ñ.
Ñêà÷àòü (ïðÿìàÿ ññûëêà):
13. (ft + ñ)3 + (c + a)3 + (a + ?3 —3 (b + ñ) (c + a) (a + ?) =
= 2 (a3 + ft3 + c3 — 3aftc).
14. ô — cf + (c — a)3 + (a — ft)3 — 3 (ft — ñ) (c — a) (a — ft) = 0.
15. (a2 — ftc)3 + (ft2 — acf + (c2 — aft)3 — 3 (a2 — ftc) (ft2 — ac) (c2 — aft) =
= (a3 + ft3 + c3 — 3aftc)2.
16. (ft + cf + (c + af + (a + ft)3 + (a + d)3 + (ft + d)3 + (* + df =
= 3 (a + ft + c+ a*) (a2 + ft2 + c2 + d2).
17. (? + c — a)3+ (c+a — ?)3+ (a+ ft — c)3—
— 3 (ft + ñ — a) (c + a — ft) (a + ft — c) = 4 (a3 + ft3 + c3 — 3aftc).
18. (3a — ft — cf + (3ft — ñ — af + (3c — a — ft)3 —
— Ç (3a — ft — c) (3ft — ñ — a) (3c — a — ft) = 16 (a3 + ft3 +c3 — 3aftc).
8- Àëãåáðà, Ãë. I. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÎÂ
19. (ïà — b — ñ)3+ (ïî — ñ— à)*+ (ïñ — a — bf —
— Ç (ïà — Ú — ñ) (nb — ñ — à)(ïñ — à — Ü) = = (ï + If (ï — 2) (?3 + b3 + c3 — Øñ).
20*. ?3 (b + ñ — a)2 + b3 (ñ+ a — bf + c*(a + b — ñ)2 +
+ abc (à2 + Ü2 + ñ2) + +(ÿ2 + b2 + ñ2 — bc~ ñà — ab)(b + ñ — à)(ñ + à — b)(a + b — ñ} —
= 2abc (be + ñà + ab). 21. à4 ô2 — ñ2) + Ü* (ñ2 — à2) + ñ4 (î2 — b2) =
= \à2 (b — c) + Ü2 (ñ — à)+ ñ2 (à — Ü)\ (à + *) (* 4- ñ) (ñ + à).
22*. (X + ó + zf = (— X + ó 4- ^)3 4- (X — .ó + *)3 + (X +ó — zf + 2Axyz.
23. xyz (X + ó -f zf - (j,* 4- zx + xyf = (X2 - yz) (ó2 — zx) (Z2 - Xó). 24*. 4 (X + y+zf — 15 [x (ó — 2)" f j' (z — x)2 4- 2 (X — 3;)2] —
— X (2õ — ó — zf — >> (2 ó — z — xf — z(2z — x— ó)2 = 1 OSxyz. 25*. 4 (X2 + àõ +- a2f — 21 à2õ2 (õ + af = (õ — af (2à +- xf (2õ + à)2. 26*. 4 [ab (õ2 — ó2) + (à2 — b2) xyf + \(à2 — Ü2) (õ2 — ó2) — 4abxy]2 ==
= (à2+?2)2(õ2 + ß2.
27. [(x2 4- j'2)2 + à2*2]2 — 4à2 (õ2 + y2f =
= [(õ2 4- 3;2 4- ?;/)2 — à2 (õ2 4- /)] \(õ2 + ó2 — ayf — à2 (õ2 + V2)]. 28*. (a + b + cf — (b + cf - (ñ Ë- af - (a + bf + à4+-Ü* + ñ* =
=-- \ 2abc (a + b+c).
29. (b 4- ñ)2 (ñ + af (a + bf + 2aWc2 — a*(b + cf —
— ?4 (ñ + af — ñ4 (a + bf = 2 (be +- ñà + abf.
30. (X + yf + õ* + ó4 = 2 (X2 + Xó + y2f.
31. (X + yf — õú — ó* = Úõó (X + ó) (õ2 + X ó + ó2).
32. (X + yf — x7 — ó" = 7õó (X + ó) (X2 + X ó + ó2)2. 33*. (X +ó + zf — (ó+ Z- xf — (z + x — yf — (X + ó —zf =
= S0xyz (X2 + ó2 + z2). 34*. 25 l(b — cf + (ñ — af + (a — bf] {(b — cf + (ñ — af + (a — bf] =
= 2\\(b — cf + (c — af + (a — bf]2. 35*. (a + b + ñ + df — (b + ñ + df — (ñ + d + af — (d + a + bf — — (a + b + cf+(b 4-- cf+ (ñ + af + (a + b)b + (a + d)* + (b + df + + (ñ+ df — ÿ5 — Üú — ñú — db = eOabcd (a + b + c + d).
36. (b — cf + (ñ — af + (a — bf — 9(b — cf (ñ — af (à — bf = 2 (a — bf (à — cf + 2(0 — cf (Ü — af + 2(c— af (ñ — of.
37. (ó — zf + (Z — xf + (õ- yf =
= 2 {(ó - Zf (Z - Xf + (Z- Xf (X - ó)2 + (õ- yf (ó — Zf] = — 2 (õ2 + ó2+ z2 — yz — zx — xyf.
38. ?4 (b2 — ñ2) + ¹ (ñ2 — à2) + ñ* (à2 — b2) =
= \a2(b — c) + b2(c — a) + ñ2 (à — Ü)](à + Ü) (Ü \-ñ)(ñ + à) = = — (b — c)(c — à)(à — b)(b + ñ) (ñ +à) (à + Ü).
§ 2. ÓÑËÎÂÍÛÅ ÒÎÆÄÅÑÒÂÀ ÌÅÆÄÓ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÀÌÈ
9
39*. [b2c2 (a -L- d) -L à×- (ñ + ft)] (ft — ñ) (à — d) +
-4- [ñ2à2 (ft f - tf) + ^2 (ñ + ")] (ñ — a) (ft — î*) + H- \a2b2 (ñ + î1) H- ñ^/2 (à + ft)] (à — ft) (ñ --?/) = 0.
40. ß³+Î —?i)fl2 + U — oi)0 —fl2)?3-+ •••
... + (I fl2) ... (1-0„^K = (I-A1)(I- ß2) ... (1—îÿ).
Ïðîèçâåñòè óìíîæåíèå ñëåäóþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ:
41. (õ + + 2) (x2 + v2 JnZ2 —yz —ZX- Xó).
42. (x2+ õ-+- 1)(õ2 —x + 1)(õ2~ 1).
43. (à H- ft H- ñ H- rf) (à2 + ft2 + ñ2 + d2 — aft — àñ — ad — be - bd — cd). Óïðîñòèòü ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
44. a (ft + ñ — a)2 + ft {ñ + à — ft)2 + ñ (a + ft — ñ)2 +
+ (ft H- ñ — ?) (ñ + à — ft) (a H- ft — ñ).
45. (2à2 + 3aft — ft2)2 — 4 (à2 — ft2) (a2 + 3aft + 2ft2).
46. (a2 + ft2 H- ñ2 H- ftc + ñà -f- aft)2 — (a + ft + ñ)2 (a2 + ft2 + ^2)-
47. (aftc H- ftcof + ctfa + dab)2 — (be — àà*) (ñà — M) (aft — cd).
§ 2. Óñëîâíûå òîæäåñòâà ìåæäó ìíîãî÷ëåíàìè
Äîêàçàòü, ÷òî:
1. Åñëè 5 = a -J- ft + ñ, òî
(as + be) (bs + ñà) (es H- aft) = (ft + ñ)2 (ñ + a)2 (a + ft)2.
2. Åñëè a + ft+c = 0, òî
à) a (a H- ft) (a + c) = ft (ft + a) (ft + c) = ñ (c + ft) (c-\-a) = aftc;
á) a3 -f- ft3 H- c3 -J- 3 (a H- ft) (ft + ^) (c H- a) = 0.
3. Åñëè a H- ft + c = 0, òî
a2 (ft -r c)2 + ft2 (c + a)2 + c2 (a + ft)2 + (a2 + ft2 + c2) (aft + ftc + ca) = 0. 4*. Åñëè a + ft + c = 0, òî
à) a3 + ft3+c3 = 3aftc;
á) a4 + ft4 + c4 = 2 (a2ft2 H- ft2c2 + c2a2) = 2 (aft + ftc + ca)2 =
V gs + ?5 4- a3 4- H- c3 fl3 + b2 + c2
b) - _------;
V d? + W + Ñ? _ fl5-f fr5_j_ C5 flH ?2 _[_ C2 _ äÇ ?3 4. C3 - ä4 J- ?4 _|_ C4 ^
Ã) 7 ~ b ' 2 — 3 "4
gl _|_ ?7 _f_ C7 4 ?3 J. C3 / fl5 -L ?5 4- ?5 4?
Aj 7 * 3 — \ 5 J "
5. Åñëè x3 + ,ó3 + z* = x2 -\-y2 + z2 = x + _y + 21 = 1, òî õ_óã = 0.
6. Åñëè X = ft2+ ftc+ ñ2 è _y = ft2c + c2ft, òî
4õ3 — 27_ó2 = (ft — cf (2ft2 + 5ftc + 2ñ2)2.
7. Åñëè 2s = a + ft + ñ, òî
1) a (5 — ft) (5 — ñ) + ft (5 — a) (5 — ñ) + ñ (5 — a) (5 — ft) H-+ 2 (s — a) (s — b) (s—c) = abc\
