Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Верно ли обратное положение? Ю. Доказать, что если
Xі — у Z _ у2 — ZX _ 22 — Xy
a b с
то
а2 — be _ b2 — са _ с2 — ab
x v z
22
Алгебра, Гл. IL АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
11. Доказать, что если а + b = 1, то
а , Ь _2{Ь — а) Ь*—\ а* — \ ~~ аЧ* + 3
12. Упростить выражение
(а + с) (a + d) (Ь + с) (b + d)
(a + b + c + d)2
при условии, что
ab = cd.
13. Упростить выражение
abed
при условии, что a + b = с + d. 14*. Доказать, что если
Ь2 + с2 — а2 , с2+ а2 — № , д2 + Ь2 — с2 ] 2Ьс 2са 2а6 ~~ '
то две из этих дробей равны 1, а третья —1. 15*. Доказать, что если а + b + с = О, то
(а2 , Ь2 , с2 \1 Ь — с , с—а , a— b\ . , / 1 , 1 f 1 \з 16. Доказать, что если
2л+1
a b с а + Ь + с '
то
\а^ Ь^ с) o2/i+i + a2/i + i + c-ii+i
где /і — целое положительное число.
17. Доказать, что если
^a-I-Сг — д2 с2_|,д2 —&2 д2 -|_ &2 _ С2
2bc ^ 2са ' 2а6 — '
то
I-2Й-) +1-2с^ J +\ 2^ J
где п—целое положительное число.
18. Даны соотношения
xr = а^х + bYy + c1v' = Ct2X + b2y + с2.
Пусть (xlt ^y1), (х2, у2), (х3, ^y3)— произвольные пары значений х и у, такие, чтоX1^2 + X2^y3 + X^y1- X^3- X2V1- хъу2 Ф 0,a(*b ^1), (х2, yo)t {х'г, у'з) — соответствующие им значения х' и у' (хх = агх1 + Ьху1 + с\, y[ = a2x1 + b2y1 + c2, х'2 = а1х2 + Ь1у2 + с1 и т. д.).
Доказать, что дробь
ff.ff.ff ff ff fr
хгУ2 + х2уъ -V хъух — Xj>'3 — x2yj — X3V2
*1>'2 + Х2Уз + Х3У1 — *іУ3 — Х2Уі — -*'3)'о
выражается лишь через alt blt а2, b2 и найти это выражение.
§ 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
23
19. Даны соотношения:
Xі = U1X+-bxy +-C1Z, у*' = а2х-{--b2y-\-c2z, zr = a3x-{-b3y+-czz.
Пусть (X11 yt, Z1), (х2, у2, Z2), (х3, у3, Z3) — произвольные тройки значений х, у, z, такие, что xiy2z3+-x2y3z1-+x3y1z2—xxy3z2—X^y1Z3-—x3y2zx Ф О, а (х^, у[, z[y (X, у[г z'2}, (x'v y'v z^ — соответствующие значения xr, у'\ z'.
Доказать, что дробь
-*іУ2^з + х2У^і + X2V1Z2 — xxy2z3 — x2yiz3 — X^y2Z1 .
выражается лишь через ах, O1, C1, а2, b2, с2, а3, b3, C3 и найти это выражение.
Глава III
§ 1. Тождественные преобразования иррациональных выражений
Доказать следующие равенства:
120 + 14 V 2 + 1^20— 14 V 2 = 4. ^!/"2 + 7-1^5^2-7 = 2.
ЛУУТ+2 ЛУУТ^2 _ і V Yb V Vi - f 5 •
1 _ 3,4
/б —/5 ~~ /б —V2 /6 + /2
(dW)"^?)'-/?^-
2 l/э + /65 __ /19 + /3
Vу 19—17^a 2 ]/ 9 — /65 "
^8 + 2^10 + 21/5 +^8-21^ 10 + 21/5 = "К 2 (l + V~5).
/3—1 /^9 —5/3
/3 + 1 " j/ 9-4-5/3 '
1 + /3 _ 2 + /3 2|^~2 1^20+ 12/? *
і/Уі_|/ут+ї
^38+17/5 = 1^9+41/5. 2 + /3 + 2-/3 =уЪ /2 + /2 + /3 /2 — 1/2-/3
І/3 — 2/2 І/3 + 2/2 __2
Vl7 — 12/Т VA17 + 12/2
Доказать, что если
/я + b\q-p a A- b . ~ д; — I fl ^ J , д J_ А > 0> P к q рациональны, то
J_ fl*--fr» /J_ , J_\ /?-M\frf
2 а»+Ь2\хР* X9J \a — b)
РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 25
15. 16.
17.
18. 19. 20. 21.
Уничтожить иррациональность в знаменателе;
1
1 + /2-/3 " 1
1 +F2+217 4 '
_7
*г- -~ ' 1- V 2+/2
_1
f~4 + f 6 + f 9' _Л_
Y~a + Y"b + Y~c '
_А______
Y"a + Y~bJrY^JrY'd А
У а + У Ь + V с Упростить следующие выражения: 22. /а2 H-6а-t-9+- /а2 — 6а+-9.
23. ^>°- *><>. w>i.
і \q~p
24. }-y-j-f+> Р>0, <7>0, рд>1.
25.
где
(/х- 1 /* + 1 ) ' іух — Г /х+l)' * = ~2^> а>0, 6>0, а^?.
26. .-.^±2=, a^fcO.
1
27.
(a+ VV _ї) (6 + /^-1) '
28 /2^+_1+_?і/4?+3\ я
\2л:2 + 3 + дгУ"4^ + 3/ 29. ^-3,,+ (^-1)/^4-2 _
к« — Зи + (л2 — 1) /n2 — 4 + 2
\—аЬ + /Г+а2 — a/ 1 + 62
ЗО.
І—аЬ + У'ї+Ьї — ЬУ 1 +а2
31. .¦^=A *г — 2в* + а 1^, где X=^J7"0*
32.
Yb Va-Vb
а>0, Ь>0, афЬ.
2bY?+^t где , '(l^f-l/l), а>0,о>0.
26 Алгебра. Гл. III. РАДИКАЛЫ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
33. 34. 35.
36*. 37.
2bYx2—\ 1
—~-г , где X — Tj
х — Ух-х2 + ах + Ь
где X ¦
х2 + Ьх + с
Ya +X —Ya — X
ГДЄ X :
•Ь '
2а
Ъ2 > act а>Ь.
У а +X+ Уа--х' Ь + Т
\хт -+хп) —4а2хт п ,
г> я>0.
где
2тп
где
38.
¦\а + Уа2— \)т-п> а>1, m л, m 0, л 0. (х-1 -j~ а-1) (х + а)Т — b~lx~"
/г / /г л \-1
(x^ + o2) 2 +(xi — a2)
L(*a + *3) 2
і __і_
(ХЗ — 2
39.
где
причем
где
40.
(т2 + п°ЛТ
?>0, n>m>Q. (х-2 + а~тх") 2 +(а-2 4-а~Тх~т) \
x = (oT _Лт) 2 > ?>o>0.
JL J-
(m + х) 2 + (m — х) 2
где
(m + х) 2 — (/я — х) 2 2т я
причем m > 0, 0 < п < 1. 41*. Упростить выражение
' л2 + Г
где
(а + х2) 2 +(а —X2) \ х = 4(а— 1).
42.
Рассмотреть два случая: а) 1 < а < 2; б) а > 2.
TJ- J- -J- J- 1-J-
l(x + a)*.(x — af3 + (х + а) 3 (х — ?)3 — 2J 2'
где
х = а 1
причем т > я > 0.
/ггЗ —лЗ'
