Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
на расстоянии -g- HS. Геометрическое место вершин (P) получается из предыдущих
в результате гомотетии ^A, ^; L фиксировано, А' описывает окружность, гомотетичную окружности, которую описывает 5, a M' и N' — окружности, гомотетичные тем, которые описывают M1 и JV1 в гомотетии (A, -d?-Y
V АН)
Вычисление SB и SC. Треугольник SBC — прямоугольный (S — прямой угол) и H—основание биссектрисы угла BSC. Имеем
SB2 _ SC2 __ BS2 + CS2 _ ВС2 (Ь Л с)2
Ь2 с2 b2 + c2 b2 + c2 Ь2-\-с2
откуда
Yb2 + с2' Yb2 + с2
Вычисление сторон квадрата. Приложим к треугольнику BSC теорему
be Y2
о биссектрисе, получим SB • SC = SH2 4- BH ¦ CH, откуда SH = у-—-. Диаго-
/г» ч /nv /Jf Y2 a —I наль (P1) имеет эту величину, диагональ (P) равна —---, а сторона
У b2 -f- с2 а
be (а —1) aYb2 + c2 '
19. Зная ортоцентр H ортоцентрического тетраэдра (T) и центр О сферы, описанной вокруг него, легко построить центр тяжести Ou = Y ОН, центр первой сферы Эйлера тетраэдра — также и центр а второй сферы Эйлера:
^ 1 гю
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 669
Исследование тетраэдра (T) с заданной вершиной D. Предположим, что D — вершина тетраэдра (T) (черт. 249). Центр тяжести D' противоположной грани
получается из D в результате преобразования гомотетии ^G, — Плоскость (П)
противоположной грани —это плоскость, перпендикулярная DH и проходящая через ?>'; треугольник ЛВС вписан в окружность (Oa) пересечения сферы (О) с центром О и радиусом OD с плоскостью (П). Обозначим проекцию точки О на плоскость (П) через Od; точка Oj служит центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Точка Hd пересечения прямой DH с плоскостью (П) служит
D
Черг. 249.
ортоцентром треугольника ABC, а точка D'—центр тяжести грани ABC; в самом деле, обозначая через ша проекцию точки G на плоскость (П), будем иметь
Od<*d = 4 OjHd, d'(s>d = 4" OdHd, следовательно, OdDf = ~T OdHd. Указанное по-
Z О о
строение приводит к тетраэдру (T), если сфера (О) и плоскость (П) пересекаются и если существует треугольник ABC, вписанный в (Od) и имеющий Hd своим ортоцентром, и если, наконец, плоскость (77) не проходит через точку D. Сфера (О) и плоскость (77) пересекаются, если OOd< OD. На основании задачи № 76, 2° (глава XX) возможно построить треугольник ABC, для которого окружность (Od) будет описанной, a Hd будет ортоцентром, если точка D' лежит внутри окружности (Od), т. е. если OD' < OD. Заметим, что из этого одного условия уже следует, что OOd<OD, так как OOd^OD'. Таким образом, если OD' <OD, то имеется бесконечное множество треугольников ABC и, следовательно, бесконечное множество тетраэдров (T) с заданной вершиной D. Обозначим через D" точку, гармонически сопряженную с точкой D' относительно точек Od и Hd, через (Гі) — окружность с диаметром D'D". Тогда, если OD' < OD < OHd, геометрическое место вершин треугольников ABC есть часть окружности (Od), внешняя по отношению к (Ti); огибающая стороны — срответствующая часть гиперболы с фокусом Od, для которой направляющей окружностью является окружность, полученная
из окружности (Od) в результате гомотетии {^D', Если OH=OD, геометри-
ческое место вершин — окружность (Od), и огибающая сторон треугольника ABC вырождается в две точки: Od и Hd. Если OHd < OD, геометрическое место вершин — окружность (Od), а огибающая сторон — эллипс, для которого Od — фокус, а направляющей окружностью служит окружность, полученная из (Od) в результате
гомотетии [d', —-^-). Условие OD'<OD существования тетраэдра (Г) можно
модифицировать: обозначим через К точку прямой ОН, полученную из О в результате преобразования гомотетии (G, —3), тогда DK = 3D'O и условие существования тетраэдра будет иметь вид DK < 3DO. Это неравенство показывает, что точка D должна лежать вне сферы (S1), имеющей диаметром GH', где H' — точка, симметричная с точкой H по отношению к О. Так как плоскость ABC не должна проходить через D, то это означает, что прямые DG и DH не должны быть перпендикулярны, а значит точка D не должна лежать на сфере (S2) с диаметром GH Итак, области пространства, где расположены вершины тетраэдра (T), суть точки, внешние для сферы (S,), за исключением точек сферы (S2).
670 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
Построение тетраэдра (T), грань ABC которого лежит в данной плоскости. Предположим, что задана плоскость (/7), в которой лежит грань ABC тетраэдра (T). Центр окружности, описанной вокруг треугольника ABCf является проекцией Od точки О на плоскость (Я), а точка Я пересечения высот является проекцией Hd точки Я на плоскость (Я). Следовательно, центр тяжести G' треугольника ABC есть точка D' такая, что OdDr = -і- OdHd; вершину D тетраэдра (T) построим, произведя над точкой D' гомотетию (G1 —3); сфера (О) с центром О и радиусом OD пересекает плоскость (Я) по окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Это построение приведет к тетраэдру (T)1 если сфера (О) и плоскость (Я) пересекаются, если существует треугольник ABC1 имеющий (Oj) в качестве описанной вокруг него окружности и Hd в качестве ортоцентра, и, наконец, если плоскость (Я) не проходит через D. Сфера (О) и плоскость (Я) пересекаются, если OOd < OD. На основании предыдущего, существуют треугольники ABC1 если точка D' лежит внутри окружности (Od)y и мы видим, что геометрическое место вершин — это часть окружности (Od)f внешняя по отношению к (Л); огибающая сторон — коническое сечение с фокусом Od, для которого
