Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 258.
грани ABD до диаметра CC. Треугольники С AC, CBC, CDC — прямоугольные и поэтому р • 2R = AC • AC = DB • AC = Ь У а2 + с2 {черт. 258) и аналогично q • 2R = а Yb2 -\- с2, г • 2R = с Ya2 + Ь2. Очевидно, что квадрат любой из величин b Yc2 + а2> с Ya2 -f- b2, а Yb2 -\- с2 меньше суммы квадратов других величин и, значит, меньше квадрата их суммы. Следовательно, треугольник со сторонами р, q, г существует. Площадь 5 этого треугольника можно определить из соотношения
16s2 = Ц2г2 — (q2 + г2 — р2)2, откуда 16s2 = a\b*f (а2 + b2 + с2). Но ar2 = а2 +
+ 1
- с2, значит, 16s2/?2 — a2b2c2 и, значит, s = -ту
4P4 abc
Tr
ЗЭ. 2°. Если Е — середина AB1 то F1 G, Я—середины BC1 CD1 DA и т. д.
AB-AC 0 ' AL ~ AC + BD *
4°. EQ = FH (диагонали прямоугольника равны); EQ = IJ1 значит, FH=IJ1 значит, IHJF—прямоугольник (параллелограмм с равными сторонами), но его стороны параллельны AB п CD1 значит, AB j_ CD (черт. 259).
40. 1°. Так как точка Q делит отрезок 0<*> и DQd в отношении 3, то Зсосо^ +
+ OOd = 4GG'd:
DHd, но DHd :
DD' + OOd, значит,
^d =— DD'.
(D
2°. Если сфера касается грани ABC, то точка касания непременно совпадает I _ _ _
с точкой Gd и на основании (1) -g- DD' = cucd^ = &Gd = -^- и DD'=2R. Прямая DD'=
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 677
= DHd совпадает с осью 0Oj окружности ABC и, значит, DA — DB = DC и обратно 3°. Следствие 2°. 4°. Следствие 2°.
5°. Пусть G' — центр тяжести тетраэдра A'BCD; (о/) и ((O1) — сферы двенадцати точек тетраэдров A'BCD и AxBCD. Точки G и G' делят отрезки AGа и A'Gn AG AG'
в отношении -ч--— = --,у-- — 3; значит, прямая GG'\\AA', поэтому прямая GG' перпендикулярна плоскости BCD. С другой стороны, сферы (со) и (о/) преобразуются из сферы (О) гомотетиями ^G, —-^~) и ^G', —\ они поэтому равны,
а кроме того, прямая toco' || GG' и, значит, прямая coco' перпендикулярна плоскости BCD. Наконец, на основании (1) расстояния от точек со и о/ до пло-
скости BCD равны -i AA'
~А'А, о
поэтому сферы (со) и (со') симметричны относительно плоскости BCD, и сфера (Q)1), которая симметрична сфере (ш') относительно этой плоскости, совпадает со сферой (оз). 6°. Относительно взаимного расположения тетраэдра (T) и сферы (оз) можно сделать следующие предположения: (оо) не касается ни одной грани (T); (со) касается только одной грани (T); (со) касается только двух граней (T); (со) касается четырех граней (T). В первых трех предположениях грани тетраэдра высекают из сферы (со) четыре, три или два сферических сегмента, расположенных вне (T). Проведем к этим сферическим сегментам касательные плоскости, параллельные соответствующим граням тетраэдра (T). Мы получим тетраэдр (T1), для которого сфера (Co1) вписанная. Так как соответствующие грани тетраэдров (T) и (T1) параллельны или совпадают, то тетраэдр (T1) из тетраэдра (T) получается в результате некоторой гомотетии с коэффициентом k > 1. Сфера (оз), вписанная в тетраэдр (T1), при этой гомоте-
тии переходит в сферу (/) радиуса г, вписанную в (T) и, значит, -^—kr, R
где k > 1, т. е. — = 3k > 3. Для правильного тетраэдра (T) и (Tx) совпадают;
A=I И
Г
Итак, минимум отношения — равен 3, и он достигается лишь для
правильного тетраэдра.
41. 1°. Ортогональность AB и CD. Предположим, что ортогональная проекция а точки А на грань BCD лежит на высоте BH треугольника BCD. Прямая Aa ортогональна CD, BH j_ CD. Прямая CD, таким образом, перпендикулярна плоскости, содержащей прямые Aa и BH, значит, ортогональна прямой AB, лежащей в этой плоскости.
2°. Обратное положение формулируется так: если два ребра AB и CD тетраэдра ортогональны, то ортогональная проекция точки А на плоскость BCD расположена на высоте BH треугольника BCD. В самом деле, Aa CD, так как Aa перпендикулярна плоскости BCD. Плоскость BAa содержит две прямые: Aa и AB, ортогональные CD, и, значит, она перпендикулярна CD. Следовательно, Ba±CD. Итак, ортогональная проекция а точки А на BCD лежит на высоте BH треугольника BCD.
3°. by с, d — ортоцентры граней, если а—ортоцентр грани BCD. Докажем, например, что если а — ортоцентр грани BCD, то b — ортоцентр ACD. В самом деле, если а — ортоцентр BCD, то прямые Ba, Сак Da-треугольника BCD. На основании Г заключаем, что AB±CD, AC±BD и Из 2° следует, что если AB ± CD, то ортогональная проекция b точки В на ACD лежит на высоте треугольника ACD; аналогично из ортогональности AC и BD следует, что точка b лежит на высоте треугольника ACD, выходящей из вершины D; наконец, из ортогональности AD и ВС следует, что точка b лежит на высоте треугольника ACD, выходящей из вершины С. Итак, b — ортоцентр треугольника ACD. Аналогично доказывается, что с и d ортоцентры треугольников ABD и ABC
42. Г. Перпендикулярность плоскостей SAM и SBM. Угол AMB прямой. Прямая AS перпендикулярна плоскости (P) и, значит, AS J_ MB; отсюда следует, что MB — перпендикуляр к плоскости SAM, а так как плоскость SMB проходит через прямую MB, то и она перпендикулярна плоскости SAM (черт. 260).
