Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
664 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
сферы. 3. а) Дуга окружности, лежащая внутри сферы, причем данная точка и центр сферы служат концами диаметра указанной окружности; б) окружность с <выколотой) точкой; «выколотая> точка есть данная точка; в) окружность. 4. Сфера. 5, Плоскость. 7. Точка О—пересечения прямой AB с плоскостью р (если AB Ф /?), отстоит от точки касания шара на постоянном расстоянии d = YOA • OB. 8. Пусть А' и В' — проекции данных то-
Черт. 2-Ю.
Черт. 241.
„, 0, ^A' С'А' а т
на прямой, проходящей через А и В , и такие, что -^7- = q,^1- = ~г • Тогда искомым геометрическим местом будет окружность, построенная_на CC как на диаметре. 9. Плоскость. 10. Прямая. 13. Сфера радиуса YAM - MB с центром в точке М. 14. Г. Ответ: плоскость, перпендикулярная OA. 2°. Ответ: пусть 8 — прямая, по которой плоскость (P) пересекается с плоскостью, проходящей через точку О, перпендикулярно заданному направлению. Искомое геометрическое место прямых (А) есть плоскость, проходящая через прямую о параллельно заданному направлению (черт. 240). 3°. Пусть T — ортогональная проекция данной точки 5 на плоскость (P) и пусть точки Г и О различны. Угол SHO проектируется на плоскость (P) в прямой угол ОНТ. Следовательно, точка H лежит на окружности (С), построенной на ОТ как на диаметре. Обратно: если точка //лежит на окружности (С), то /_ THO = 90°; следовательно, OHS = 90° и прямая SH есть прямая (А). Значит, геометрическим местом прямых (А) является конус с вершиной 5, для которого окружность (С) является направляющей. Если точка T совпадает с точкой О, то SO — единственная прямая, удовлетворяющая условию. 4°. ОН (A), AA' _L (А) и BB' J. (А), значит, ОН, AA', BB' параллельны одной и той же плоскости. Но О — середина AB1 значит, H—середина А'В'. Далее: A AHA' = Д BHB', значит, AA' = BB'. 5°. Обратно: если AA' = BB', то Д AHA' = = /\ВНВ', значит, НА' = HB'. Так как АО :ОВ = = А'Н: HB' = 1, то AA', BB', ОН параллельны одной и той же плоскости; но AA' и BB' перпендикулярны (D), значит, и ОН ± (D), т. е. (D) есть прямая (А) (черт. 241). 15, Пусть / и J—соответственно середины AB и CD. Тогда
MA2 + Mb2 = 2MP
гтг,о , AB2
значит, MA2+ MB2 =
когда Ш2 — MJ2 = ческое место есть
MC2 CD2-
_ _ г/)2
MC2 + MD2 = 2MJ2 + :
MD2 тогда и только тогда, AB2
геометри-
резку // в точке H такой, что 2U-OH =
плоскость, CD2 —AB2
Искомое перпендикулярная от-
^ . 16, 1°. а) Геометрическое место точек P таких, что PA = PC есть плоскость, (~AC) — медиатриса отрезка АС. Геометрическое место точек P таких, что PB=^-PD есть плоскость, (^BD)— медиатриса BD. Так как А" и Y—скрещивающиеся прямые, то AC и BD—также скрещивающиеся прямые; значит, плоскости (^АС) и (T-BD) пересекаются по прямой (J, для всех точек которой и только для них мы будем иметь одновременно PA=PC и PB=PD (черт.242). б) Геометрическое место точек Я таких, что PA = PD и PB = PC есть прямая V, по которой пересекаются плоскости (г. ) и (^с) — медиатрисы
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 665
отрезков AD п ВС. Прямая U пересекает плоскость (ТСЛО); в самом деле, если бы прямая U была параллельна плоскости (ъАО)> она была бы ортогональна AD1 а так как U _1_ АС, то прямая U была бы ортогональна плоскости ACD; значит, прямая BD, которая также ортогональна U, лежала бы в плоскости ACD, что по предположению не имеет места. Пусть P0 — точка, общая U и (^ AD). Тогда P0A = P0D, P0A = P0C и P0B = P0D, значит, P0B = P0C и, значит, точка P0 лежит на (ъвс), следовательно, и на прямой V. Итак, прямые UnV пересекаются в точке P0 такой, что P0A = P0B = P0C = P0D (черт. 243). 2.° Пусть Q — какая-нибудь точка прямой U. Тогда QA = QC и QB = QD. Так как AB = CD, то &QAB = Л, QCD, значит, и QM = QN, ибо NC и MB = ND. Значит, Q лежит на (я/идг); но Q — любая точка U; следовательно, (кmn) проводит через U. Так как En ^—середины AB и СД то EA = FC, EB = FD и плоскость-медиатриса отрезка EF проходит через U. Пусть R—произвольная точка прямой V; тогда RA = RD и RB = RC; значит, л, RAB ---- Д PCD, а медианы Р? и RF этих треугольников равны между собой; значит, R лежит на плоскости-медиатрисе EF; (^Et) проходит через V. Итак, (~Ер) есть плоскость, проходящая через U и V.
3°. Прямая U есть GK; прямая V— LH. Точка P0 есть точка пересечения GK и LH и так
как GHKL — квадрат, то UuV пересекаются под прямым углом. Отрезки EF, GK и HL равны и пересекаются попарно под прямыми углами.
17. 1°. Геометрическое место середин / отрезка MM'. Назовем через / середину отрезка MM'; О — середина AA' (черт. 244); О принадлежит геометрическому месту. Проведем через О две прямые (d) и (d'), параллельные соответственно прямым (D) и (D'); затем через точки M и M' проведем прямые, параллельные AA', а точки пересечения этих прямых с (d) и (d') обозначим соответственно через т и т'. Так как Mm = АО
и т!M' = OA, то Mm = т'М'. Четырехугольник MmM'т', следовательно, — параллелограмм и середина / отрезка MM'
