Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 243.
/ #
jm\ U)
/А
M (D)
/
л
Черт. 245.
есть в то же время середина отрезка mm'; но От = AM, Omf = A'M', а так как AM = А'М', то Om = Om'. Треугольник О mm' равнобедренный, прямая OI — медиана, относящаяся к стороне mm', и в то же время биссектриса угла тОт'. Обратно: если мы возьмем точку / на любой из биссектрис (о) или (о') угла, обра-, зованного прямыми (d) и (d') и проведем через / в их плоскости перпендикуляр к 01, то получим равнобедренный треугольник Отт; значит, параллели AA', проведенные через' т и т\ пересекут (D) и (D') в точках MnM' таких, что AM = А'М'. Геометрическое место / середин отрезков MM' есть, следовательно, пара биссектрис (Ь) и (о') углов, которые мы получим, проводя через середину О отрезка AA' прямые (d) и (d'), параллельные (D) и (D').
Геометрическое место точек, делящих MM' в данном отношении k. На каждом отрезке MM' существуют две точки, делящие его в отношении k:
666 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
JM J1M
——г __ -угм, — k (черт. 245). Одна из них лежит внутри отрезка MM', другая — вне этого отрезка. Мы исследуем лишь точку /, лежащую внутри MM' ^исследование J' — аналогично). Пусть O1-точка, делящая AA' в отношении k, ^ 1^, = k.
Проведем через точку O1 прямые (d{) и (^1), соответственно параллельные (D) и (D'), затем через M и M' — прямые, параллельные AA', пересекающие (dx)
и (^f1) соответственно в точках W1 и wj. Имеем: Мхтх = OxA и т[м[ = OjА'; следовательно, = = k. Четырехугольник Mm М'т[ — трапеция, отношение тхМ O1A " 1
параллельных сторон которой равно k. Диагонали этой трапеции пересекаются
в точке У, так как
Jm1 J ті
Mmx
тхМ
k. Так как Охтх = AM, O1Jnx = А'М\ то тре-
угольник O1ZW1W1 — равнобедренный, направление основания W1W1 его фиксировано. Геометрическое место точек J есть, следовательно, геометрическое место
точек основания равнобедренного треугольника Ow W1 таких, что — k. Это
Zw1
свойство сохраняется при гомотетии относительно Ox. Значит, геометрическое место точек / образовано двумя прямыми (B1) и (о2), проходящими через точку O1 (или O1), делящую отрезок AA' в данном отношении k, расположенными в плоскости (d , ^1) и проходящими через точки Jx и J2 отрезка MM' такие, что
JxM 1~2~М , « v л
¦ 1 ¦ = — ¦ = k. Аналогично геометрическое место точек J образовано двумя
J1M' J2M' f f fj
прямыми (S1) и (о2), проходящими через точку O1 и расположенными в плоскости, параллельной (D) и (D').
2°. Случай, когда AA'±(D) и AA'JL (D'). Точка / — середина MM' лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка AA' параллельно прямым (D) и (D'). В рассматриваемом случае эта плоскость будет перпендикулярна AA' и, значит, IA = IA'. Отсюда следует, что &IAM = ДІА'М'. Значит, /_АМ1 = ^А'М'1, прямая MM' одинаково наклонена к прямым (D) и (D'). Плоскость-медиатриса
Черт. 246.
Черт. 247.
отрезка MM'. В п. Г было доказано, что геометрическое место точек / образовано двумя биссектрисами углов между прямыми, проходящими через середину О отрезка AA' параллельно прямым (D) и (D'). В случае AA' ± (D) и AA' ± (D') треугольники OAM и OA'M' равны, значит, OM = OM' и, значит, точка О лежит на плоскости, перпендикулярной отрезку MM' и проходящей через его середину. Значит, эта плоскость проходит через прямые О/, иначе через (о) и (о'). Прямые (Gj) и (G2) являются прямыми (о) и (о'). Точки Gx и G2 равноотстоят от (D) и (D'). Пусть IK и IK' — перпендикуляры, опущенные из точки / на прямые (D) и (D'). Эти перпендикуляры проектируются ортогонально на плоскость (о, о') соответственно в перпендикуляры Ik и Ik' к (d) и (d') на основании теоремы о проекции прямого угла (теорема о трех перпендикулярах). Так как / лежит на одной из биссектрис (о) или (S'), то Ik = Ik'. С другой стороны, kK — OA, k'К' = ОА''; но OA = OA', значит. kK — k'K'- Отсюда следует, что Д IkK = Л Ik'К'* поэтому IK = IK' (черт. 246).
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 667
3°. Геометрическое место точек, делящих BB' в данном отношении k.
Рассмотрим какую-нибудь прямую BB', параллельную плоскости (P) и пересекающую две скрещивающиеся прямые (D) и (D'). Существуют две точки: N и N', делящие
TV В N' В /
отрезок BB' в отношении k (черт. 242): ^^, = • ?, = k. Пусть ВгВ[ — какая-нибудь другая прямая, параллельная плоскости (P) и пересекающая (D) и (D') в точках B1 и B1. Пусть N1 и N1 — точки, делящие отрезок B1B1 в отношении k. Предположим, что BB' фиксирована, a BB —переменная прямая. Проведем NN2W(D); пусть эта прямая пересекает B1B' в точке N2; соединим N2 с N1.
і-) NB N В
Имеем "2 1 ¦ —-== k == •—откуда, следует, что N2N1W(D'). Следова-
N2B' NB' NXB[ v
тельно, плоскость NN2N1 фиксирована, поскольку она параллельна (D) и (D')
(ибо она проходит через NN2 и N2N1). Треугольник NN2N1 остается все время
подобным себе, если ВХВ[ перемещается. В самом деле, стороны AW2 и N2ZV1
