Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1272
1272
ЗО Зак. 1143. П. С. Моденов
466 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
41.(0,0), (2, 2),
[-1-(-1 + //9603), І| (-1-//9603)],
[
Ц- ( -1 - / /9603), -§ (-1 + / /9603)] .
Указание. Выделив решение (0, 0), разделить обе части первого уравнения на ху, обе части второго — на х2у2 и ввести новые переменные х + у = а,
jc у
--|--i. = ?. Относительно ? получится квадратное уравнение. 42. Ввести новые
у jc
неизвестные а = у + -^-, ? = J0, + _L. Ответ: (2, 1), (—2, —1), (1, 2), (—1, —2),
т)' ("""*' —2")' ("2"' *)' ~~43, оказание. Освободиться от
знаменателя; ввести новые неизвестные jc + у и ху. Получится возвратное уравнение четвертой степени относительно ху. Ответ: (2, 3), (3, 2), , -^-j , ^">-у^-
§ 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными, содержащие
параметры
1. Если а Ф 0, то три решения: (0, 0), (^-, — ~ j, (2а, 4а). Если а = 0, то
і * о Г W ,/"3^2" . ,,/"За2—1\ все решения jc = А, у = А, где А — любое число. 2. 2" I ? |/ —2---h ? |/ —2— J '
"5~(є V Z~~T~ ~b'V^2"1 )] 'ГДЄ? = ±1' ?' = ±L3- Если а = 0, то jc = у = 0; если а Ф 0, то система имеет решения: (0, а), (а, 0), (—L-g-!-а, ——^-0Jj
(\-iVT 1 + //7" \ . _ і і і
^-_-а,—~-а). 4. Если а = 0, то все решения jc = X, у== — А, где А —
любое число. Если а Ф 0, то решения: (0, а), (а, 0), ^J-iiJ^L а, ~—?р— а)»
/ 1 — / /3" 1+//3 \
і-_-at —L_i-а \ т 5# Если а= о, то jc = y=0; если афО, то решения
/ 1 + W Vs + є /33 1 —/є'У^ + е/ЗЗ \
^a—1-g-1---а--г~-I , где є и ? принимают независимо
друг от друга значения ±1. 6. Если а = 0, то решением является пара чисел вида jc = X, у = — X (X— любое число); если а Ф 0, то система имеет следующие
решения: (а, 0), (0, а), * ~ * — ¦ о, * + а^ . 7. Если а-\-ЗЬ ф0, то
/ є зА- . ? fa— 6 є зг- є fa — b \
2-/а + Зб + ^і/ I7= , /fl + 3*--2- 1/ V==7 ' \ ^ ~ У /а + 36 ' ^ ^ J/ /а + 36 /
/ є _3/-- ? / а — b є _3/-- є f а — b
у/а + Зб-уі/ _ , j fa + 36 + т -і/ ¦ ¦
\^ /а + 36 ^ ^ |/ ]/а + 36
8. При а = 1, 6 = 1 все решения системы: jc = А, у = А, где А — любое число, J кроме 0, 1, —1, /, — /. При а = 1, 6 = —1 все решения: х =• X, у = у, где X — любое число, кроме 0, 1, —1, і, —і. При а = — 1, 6 = 1 все решения системы: jc = X, у =--\-, где X — любое число, кроме 0, 1, —1, f, — і. При а = — 1, 6 = — 1
все решения jc = X, у = — X, где X — любое число, кроме 0, 1, —1, /, —L При а = 1, b Ф ±1 система несовместна. При а Ф ± 1, 6 = 1 система несовместна. При а = 6 = 0 все решения системы: jc = X, у = 0, где X — любое число, не равное нулю.
/ — / ± /б2 — 1 \ 1
Если а = 0, 6 0, 6 ± 1, то решения /,--J ; если 6 = 0, афО,
Ответы. § 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
467
, а.1 (, l±Vl — a2\ f т l±yrl — a2\ аф±1, то решения ^1,---1, 1, -—-1; если а = Ь, но а =/= О,
ЬфО, афі, Ъф\, аф — 1, ЪФ—1, то система несовместна; если а =— Ь, но а Ф 0, ЬфО, а ф\, Ь ф\, а Ф— 1, Ь Ф — 1, то система несовместна. Пусть, наконец, афО,ЬфОу аф I, b Ф I, аф — 1, Ьф — 1, афЬ, аф—Ь. Тогда данная система и система
у(\фх2) = ах(\фу2\
у(\—х2) = Ьх(1 — у2) { }
имеет те же решения, что и данная, и еще одно решение (0, 0). Складывая и вычитая (3), получим систему, эквивалентную (при указанных условиях) системе (3):
2у = х[а(\фу2)фЪ{\-у2)1 2ух2 = X [а (1 + у2) — b (1 — у2)]. 1 }
Эта система будет эквивалентна следующей:
2y = x[a(\ + y2)+b(l-y2)] 4у*х2 = х2 [а2 (1 у2)2 — Ь2 (1 — у2)2]
. } (5)
второе уравнение после сокращения на х2 не будет иметь решения (0, 0), а потому система
2у = X [a (I ф у2) фЬ (1-у2)ц (6)
4у2 = а2 (1 + у2)2 — Ь2 (1 — у2)2 J К
в случае афО, b Ф0, аф ± 1, 6 ± 1, аф ± Ь будет эквивалентна данной. Второе уравнение системы (6) имеет решения:
2-а2_62 + 2е уу-1)01-1) ? = ±1 ?, = ±1
а2 — Ь2
у
Подставляя это в первое уравнение системы (6) и замечая, что в силу а Ф ± Ь
аЬф\ — ьУ(а2 — \)(Ъ2—Х),^ коэффициент при X не равен нулю, найдем х =-¦-аф Ь-Є
/2_а2_Ь2 Ф 2г Y(а2_I) (b2_I) -!—0 f \0-^-- . Итак, данная система, в случае если а1 — Ь1 _
eyv—їй*2—і),
афО, ЬфО, аф±\, Ьф±\, аф±Ь, имеет решения: у—¦-fl + 6-
v ,і/~2-а2 — Ь2ф2zV(tf~--\)(b2 — 1) іЛГ2-~a2 — 62 + 2s/(a^- l)(b2-l)\ Х? У U2^b2 ,? У а2 — Ь2 /'
где є = ± 1, є' = ± 1. 9. Если a = O1 система имеет одно решение (0, 0); если афО, то система имеет четыре решения:
\ 2ІЛ+/2 j \ 2У1 + /2 /
L1VV^=T,- ^4=—)- UVW=T. -it==)•
10. Если 6 = 0, а Ф 0, то система несовместна. Если ЬфО, то решения системы:
, , / Ь2 1 _/".. . 4д* * , /' Ь2 _\ f \аї
Ъ , / Ь2 1 ,/,, , 4д5 Ь , , / Ь2 1 ,/ м , 4д5
б2
1
}А4 +
4а5
4
2/5"
Ь
б2
1
]/~ь*ф
4аъ
4
2/5"
