Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
чп 1 + /2± 1/"2/"2-I 1-/2 + //2/2 + 1 qt ±3 ±/5
зи, -_ , -2--• ^1« -9-» —
§ 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры
1. а = О, а = — 2. 2. л = 0, л = 1. 3. а = 0. 4. а = 0. 5. (а 4- 6) (5а — 36) 0. 6. аб (а — 6) (26 — а)ф0. 7. 6 (а + о) (2а + 6) (26 + а) 0. 8. аб (а — Ь)ф 0.
9. б (а — 6) (30а2 + 47а6 + 3062) Ф 0 (см. решение задачи № 31 этого параграфа).
10. Решение. Уравнения (1) и (2) будут эквивалентны тогда и только тогда, когда корни уравнений
(6 — 2л-)2 + (2а — л:)2 = 0 (3)
и
б+2а — 3л: = 0
не будут корнями уравнения (2). Уравнение (3) может быть приведено к виду
5л-2 — 4 (a + 6) X + 4а2 + 62 = 0, (3')
а так как (а — 2л:) + (2л: — b)2 = 5л'2 — 4 (а + 6) х + Ab2—а2, то прежде всего должно быть Ab2 + а2 — 4а2 — Ь2 ф 0, т. е. а2 — Ь2 Ф 0- (I) Далее: корни уравнения (3)
не должны обращать в нуль и 2а + b — Зл:, иначе х = ——— не должно быть
2а j б
корнем (3). Подставляя х =-—— в (3), получим еще одно неравенство
о
Aa — 6=^0(11). Наконец, корень уравнения b + 2а — Зл: = 0, т. е. л: = —а , не должен обращать в нуль правую часть уравнения (2), т. е. 6—2 ^ + 2а ^ +
+ ^2а— JL^L J J (а + 2b — b — 2а)2 ф 0, или [учитывая (I)] Aa-ЬфО (III).
Условия (1),(11),(111) можно объединить: (а2 — b2) (Aa — Ь) ф 0. 11. (Ь2 — с2)Х X (с2 — а2) (а2 — b2) (а + б + с) ф 0. 12. а ф 6. 13. с (а — с) (а + б — с) (b + с — а) X X (2с + b) (b + с) ф 0. 14. а 6. 15. а б. 16. abm (а + б) (1 — т) (а — ягб) X X (Ь — та) ф 0. 17. (а — с) (а — d) (б — с) (b — d) ф 0. 18. б с, с а, а ф Ь. 19. (6 — с) (с — а) (а — 6) Ф 0. 20. Уравнения неэквивалентны, так как второе уравнение имеет корень X = 6, не являющийся корнем первого уравнения. Если а Ф lb, , —1±//3
где X =--, то все остальные корни обоих уравнении соответственно
одинаковы. 21. Уравнения неэквивалентны, так как второе уравнение имеет корни х =— а и X = — Ь, не являющиеся корнями первого уравнения. 22. abc (Ь — с) X X (с — а) (а — Ь) Ф 0. 23. При а = 0 уравнение корней не имеет. При а, равном —2,
X = 6. При а Ф 0 и а Ф — 2 уравнение имеет два корня: ~ (— а—4 ± /а2+4а±-20).
24. При а = 0 и а = 1 уравнение не имеет корней. Если а Ф 1 и а Ф 0, то уравнение имеет два корня: х = — а и х = а—1. 25. При а = 0 уравнение корней
не имеет. Если а Ф 0, то уравнение имеет два корня: 1+а и 1 + —. 26. Если
а = 0, то уравнение корней не имеет; если а Ф 0, то уравнение имеет два корня:
— 2а и За. 27. Перенося все в левую часть, приводя дроби к общему знаменателю и
(а + Ъ) [х2 — (а2 + ab + b2) ] производя упрощения в числителе, получим {3b+2a^x) (Ь+2а+2х) (х - 26+а) = а
Значит, если а +6 = 0, уравнение удовлетворяется при любом значении х, кроме корней знаменателя. Если же a + b Ф 0, то данное уравнение эквивалентно следую-
х2 — (а2 + ab + b2) _ гл
ЩЄМ^: (3b + 2a-.3x)(b + 2a + 2x)(x-2b + a) =0' °ТСЮДа СЛЄДуЄТ' ЧТ° ^аВНе"
ние имеет два корня х = ± /а2 + ab + б2 (I), если (—^—J — (а2 + ab + b2) ф0 или а (36 — 5а) ^ 0; ^+ 2а J __(a2 + ab + b2) ф 0 или 6=^0; (26 + а)2 —
— (а2 + аб + б2) Ф 0 или 6 0. Если а = 0, то b Ф 0 (ибо а + 6 0) и уравнение имеет один корень х = — Ь. Если 36 —5а = 0 (при этом афО ибо а + 6 0), то
7
уравнение имеет один корень х = —а. Наконец, если 6 = 0, то уравнение имеет
Ответы. § 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
459
один корень X = а. В этом решении дан общий метод решения рациональных уравнений, содержащих параметры: все переносим в левую часть, приводим к общему знаменателю и находим корни числителя; подставляя их в знаменатель, находим неравенства, при выполнении которых корни числителя будут корнями данного уравнения. Затем исследуем случаи, когда корни числителя обращают в нуль знаменатель. Можно вместо подстановки корней числителя в знаменатель поставить корни знаменателя в числитель. 28. Если 6=0, то уравнение корней не имеет. Если Ь = а Ф 0, то уравнение удовлетворяется при любом значении X1
кроме X = — а их = —. Если ab (а — b) (2Ь — а) Ф 0, то уравнение имеет три
корня: Xi =0, х2, з = ± Ya2 — ab ф Ь2. Если а Ф b, b Ф 0, но a = O1 то уравнение имеет два корня:' X1 =0, X2 = Ь. Если а Ф b, b Ф O1 2b — а = 0, то уравнение имеет
лг-іЛГол \/ (афЬ)(х- а) (х-—Ь)2
два корня xu 2= ± by 3. 29. Уравнение приводится к виду т^_^_ху (?+2д;) (2Ьфх) =
Отсюда следует, что если а ф b = 0, то уравнение удовлетворяется при всех значениях X1 кроме X = — b, X = — 2Ь и X = —если а ф b Ф 0, то корнями данного
уравнения могут быть только числа а и Ь\ при этом число а будет корнем данного уравнения тогда и только тогда, когда (а ф b) (Ь ф 2а) (2Ь ф а) Ф 0, а число b будет корнем данного уравнения тогда и только тогда, когда b ф0. 30. Уравнение преобразуется к виду
(а — Ь) (х2 — ab) [\0х — 3 (а ф Ь)]_
(ЗЬ — X) (Зх — а) (9Ь — а) (8х — За ф ЗЬ)
Если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при всех значениях X1 кроме х = 0,
X5= ~, хфЗЬ. Если ab (а — Ь) Ф 0, то уравнение имеет три корня xU2 ± Y ab, о
