Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3 ЗЬ
xs=^ (а ф Ь). Если Ьфа = 0, то уравнение имеет один корень х = , а если
а ф b = 0, то корень х = . 31. Уравнение приводится к виду
(а b) [X — (а ф Ь)] [х2 — (а2 ф ЗАаЬ ф Ь2)] [(X — а ф Ь)2 ф3662 ](7Ь — афх)2
Подставляя х = а ф Ь в знаменатель, получаем AOb2 • 6Ab2. Подставляя х = а — Ib в числитель, получаем (а—Ь) (—8b) 48Ь (Ь—а). Остается исследовать, при каком условии уравнения X2 — (а2фЗАаЬфЬ2) = 0и(х — a-f-6)2+ 3662 = 0 или х2 — 2 (a—b) х ф + а2 — 2аЬ ф 31b2 = 0 имеют общий корень. Предполагая а Ф Ь, можно утверждать, что они могут иметь только один общий корень, который определяется из уравнения а2фЗАаЬф b2 — 2 (а — Ь) х + а2 — 2ab + 3762 = 0, т. е. х= ^2+16д6 + 1962 Для того чтобы это значение х было общим корнем, необходимо и достаточно, ЧТ0бы + Х^ааЬ_Уь Ш2) J — (а2 ф ЗАаЬ фЬ2) = 0 или Ь2 (30а2 + ШЬ ф 30b2) = 0.
Итак, если b (а — Ь) (5а2 ф 8ab ф Sb2) Ф 0, то уравнение имеет три корня: хх ± аф Ь, х2, з = ± Ya2 ф ЗАаЬ ф Ь2. Если а Ф b = 0, то только один корень х = — д. Если афЬ и b Ф 0, но Ъа2 ф 8ab ф Sb2 = 0, то уравнение имеет два корня: X = афЬ и
« лГ~ъ—г—7Ta—Z—і—го « а2 ф ШЬ ф \9b2 ot тот из корней ± у а2 ф ЗАаЬ ф Ь2, который отличен от -¦—-—---. Зі. Уравнение приводится к виду
(a — b)(x2 — ab) \^х — ~(афЬ)\^ [(Ь — 2х)2 ф (2а — X)2} (Ьф2а — Зх)2 = °'
Значит, если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме а 4 ± Зі
X = —-g- и X = —g— а, так как при а = b знаменатель при указанных значениях х
обращается в нуль. Пусть афЬ. Уравнения х2 = ab и (Ь — 2х)2 ф (2а — х)2 = 0 или Ьх2 — 4 (а ф b) X ф Ь2 ф Aa2 = 0 при условии а ф b Ф 0 имеют общий корень, определяемый из уравнения ЪаЬ — 4 (а ф b) х ф Ь2 ф Aa2 = 0; отсюда х = а — , и это значение X будет общим корнем данных уравнений, если (Aa ф Ь)2 — 16а6 или Aa — b =0. Подстановка х= (афЬ) в знаменатель их = —^— в числитель новых ограничении
и о
не дает. Впрочем, условие (а2 — Ь2) (Aa — Ь) Ф 0 было уже получено в решении за-
460 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
дачи № 10 этого параграфа. Итак, если (а2 — Ь2) (4а — Ь) Ф 0, то уравнение имеет три
корня: хь 2 = ± YсіЬ, X3 = (a + 6). Если а — /? 0, но b = — а, то уравнение имеет
только один корень х = 0. Если а — b Ф 0, но 4а — b = 0, то уравнение имеет только один корень X = — 2а. 33. Уравнение приводится к виду *
[(а + b + с) X — абс] [Зх2 — 2 (be + са + afr) x+abc(a+b + с)] _ X (6с — х) (са — х) (ab — х) ~~
Отсюда, если (а + # + с) (Ь2 — с2) (с2 — а2) (а2 — Ь2) Ф 0, то уравнение имеет три корня:
abc
X1 =---,
а ± b н- с '
x2t з = у (fa + са + а? ± /с/^с2 + с2а2 -f- a2b2 — abc (a -f- b + с)).
Если а + b + с = 0, но (6 — с) (2с + 6) (2Ь + с) 0, то уравнение имеет один корень х = -^- (6с + са + ab). Если а + 6 + с = 0, (6 — с) (2с + b) (2b + с) = 0, то уравнение
не имеет корней. Если а 4- b -\- с Ф 0, по b = с Ф а, то в случае с = b Ф — а уравне-
ab2 6 (а+ 26)*
ниє имеет два корня: X1 =-, 0 , X2 = —-—51-- , а если с = b = —а, то один
а -\- Zo о
корень: X = -j б2. Аналогичны выводы в случаях а + 6 + с 0, b = а Ф с и
a + 6 + с =И= 0, а = с Ф Ь. Если a + 6 4- с 0, 6 = — а, то в случае 6 = — а = с и
? = — а = — с уравнение имеет один корень х = -^- а2, а в случае 6 = — a ±с
о
уравнение имеет два корня -i- (— a2 ± /a4 -j- За2с2). Аналогичны выводы в случаях
а-\- b -\- с Ф0, 6 = — сна-\-Ь-\-сф0, с = — а. 34. Если а Ф Ь,ю уравнение имеет один корень X = — 2 (a + b + с). Если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при любом значении х, не равном —2а. 35. Указание. При решении рациональных уравнений, содержащих параметры, иногда удобно применять следующий прием: перепишем данное уравнение в виде
(х 4 а) (х + а А- Ь) (х — с) (х — с — b) — (х — а) (х — а — b) (х + с) (х + с Ь) _
(X +T) (X — с) (X + с + b) (X — c — b) ~~ U
(а_с)Лх2---*С + (Д Y)('+C)]
____L__і_L = 0. (2)
(X + с) (X — с) (х + c + b)(x — c — b) у '
Отсюда следует, что если а = с, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме X = ± с и X = ± (b + с). Во всем дальнейшем мы будем считать a Ф с и не отмечать это каждый раз. Если подставить корни знаменателя уравнения (2) в числитель, то придется производить некоторые преобразования для приведения результата подстановки к простому виду. Лучше поэтому подставлять корни знаменателя в числитель уравнения (1) (сказанное относится и к ряду предыдущих и к ряду последующих примеров). Производя эту подстановку и отбрасывая множитель с — а Ф O1 будем иметь:
а) при X = с: — (с — а — Ь) 2с (2с + 6); (3)
б) при X = — с: (а+Ь — с) (—2с) (—2с — Ь); (4)
в) при X = b + с: — (6 + с —- а) (2с + 6) 2 (6 + с); (5)
г) при X = —(b + с): (а — 6 — с) (—2а — b) (—2Ь — 2с). (6)
Отсюда следует, что если с (a + b — с) (2с + b) (b + с — a) (b + с) Ф 0, уравнение имеет три корня:
.,=0, ,и=±/^ШШ. (7)
Сравнивая результаты подстановки при х = с и при х = b + с, заключаем, что если с (а + 6 — с) = 0, (6 + с — a) (6 H- с) (2с + Ь) Ф 0 (в этом и только в этом случае выражения (3) и (4) будут равны нулю, а выражения (5) и (6) будут отличны от нули), то среди значений (7) для х будут значения ± с, которые не будут
