Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1i1i1a 1 1i1h 1i1
---L .„J--— 0 или---Г А--= 0, или--\--г--==0; в этом случае
alolc a b 1 с a b с
система решений не имеет. 4. Если а Ф О, b ф О, с Ф 0, то система имеет два
Г , 1 (ас , ab be \ , 1 / bc , ab ca \ , 1 ( ca , cb ab \"1 решения: [±^^ + ---),±-( — + ---y±1[- + —--^,
причем должны быть взяты одновременно все верхние или все нижние знаки; если равно нулю только одно из трех чисел: а или Ь, или с, то система не имеет решений; если b = с = 0, но а Ф О, то все решения (±}Ля2 + у2, у, —у), где у — любое число; если с = а = 0, b Ф 0, то все решения (х, ± У"*2 + б2, —х), где л: — любое число; если а = 6 = 0, с 0, то все решения (дг, — х, ± Yc2 + х2), где л: — любое число; если а = 6 = с = 0, то решениями будут (— X, X, X), (X, — X, X), (X, X, — X), где X — любое число. 5. Если а + b 4- с = 0, но хотя бы одно из чисел а, Ь, с отлично от нуля, то система несовместна; если а = b = с = 0, то система удовлетворяется любой тройкой чисел je, у, 2, в сумме составляющих нуль: X ~\~ у -\- z = 0; если, наконец, а + b + с 0, то система имеет два решения:
Ya+b + c' Ya + b + c' Ya + b + cJ'
соответственно двум значениям радикала Ya + b 4- с. При этом во всех написанных выражениях надо брать одно и то же значение радикала. 6. X1 = О, ух = 0, г, ¦= 0; если b -\- с Ф О, с + а О, а + 6 О, то система, кроме того, имеет единственное решение:
2Ьс _ 2са 2а6
Х2--Т+с~' У2--~Т+а~' Z2--~a~+b'>
если, хотя бы одно из чисел 6 + с, с + я, я + 6 равно нулю, то это решение отпадает, но есть другие (уже независимо от ограничений на a, b и с): х = 0,
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 477
у = о, z — любое число; х = о, у — любое число, z = 0; х — любое число, у = 0, z = 0. 7. Если я2 -}- б2 с2 0, то система имеет два решения:
/ + Ь2 + с2 — д2 + с2+ а2 — Ь2 + д2 + Ь2 — С2 \
\ /2 fa2 + b2 + c2 ' ~~ Y2 /a2 + b2 + c2 ' ~ Y2 Ya2 + Ь2 4- с2 )'
где должны быть взяты одновременно все верхние или одновременно все нижние знаки (значение радикала во всех выражениях — одно и то же); если а2 4- Ь2 с2 = 0, но хотя бы одно из чисел д, Ь[ с не равно нулю, то система несовместна; если а = b = с — 0, то решением служит любая тройка чисел X1 у, г, такая, что х -f- у 4-4- ^ = 0. 8. Если o = 0, решений нет; если а Ф 0, но ab = 2, то система имеет одно
решение , — ^ , -^-j; если а Ф 0 и ab Ф 2, то система имеет два решения:
(«¦
а6 4-2 ±/д262 — 4д?-
-20 a ab —6 + /flgfr» — 4д6 4-20 , д —
4 (ab —2) ' 2 * 4 (дб — 2)
9. Если ak 4- ak 4- с* = 0, то система решений не имеет; если ak -\-bk ~\-ck Ф 0,
то система имеет п6 решении: \ак
у а* у ьк Y °k )
nV ^"^f7' blXnV ak + bk-r7^ C'nV ak + bk + ck)
r —
где Хя, рп, — любые значения у 1, а под радикалами понимаются какие-нибудь фиксированные значения (из п значений). 10. Решением служит любая тройка чисел:
d(Val 4- Уьу- + Ус* ) djf'al + JfJp + У~сч ) d(Va\ + V~by. + УЪ )\
х/д ' рУь ' *У7 I
при
условии, что х/д 4- рУ b + vfr с Ф 0 (l, v принимают независимо друг
от друга все значения
У U т. е. 1 и
— 1 zt/У 3
2
В общем случае система имеет,
следовательно, 27 решений. 11. Если b Ф 1, то система имеет шесть решений: (о, іYj* —//д),_(0, --_//д, //д), (//д, 0, —//д), і—іY^1 0, //д), (//д, — //д, 0), (—//д, 1Yа, 0)5 если Ь = 1, то, помимо этих решений, система имеет еще решения, являющиеся любой комбинацией корней X1, X2, X3 кубического уравнения X3—р\2 -f- дХ — P = O1 где р — любое число (система имеет, таким образом, бесконечное однопараметрическое множество корней). 12. (д, b, —Ь), (д, —b, Ь),
0, а, - Ь), (*. _ ь. а), (- Ь. а. Ь). (- *. Ъ. а). 13. (х ^ , , , , ,
где значение радикала одно и то же; X, tu, v — значения Yh причем X, ц и v должны выбираться так, чтобы Xjav = 1, т. е. допустимыми комбинациями являются лишь следующие:
'X
1
1
1
-14-//3
— 1 — //3
-им/з
— 1—//3
2
2
2
2
[x
1
-1+//3
— 1 —//3
1
1
— 1 — //З
— 14-//3
2
2
2
2
v
1
— і — /V"3 —і 4-//з
— і — і Yz
14-//3
1
1
2 j 2
2
2
— система имеет 7 решений. 14. Если а -\- b + с Ф O1 то система имеет одно реше-
( be са ab \ . , . „
ние: -—т--, —г-т—і— > —;—;—:— j ; если д 4~ b 4" с = 0, то система не имеет
\a4-64-c a-\-b-\-c а + Ь + с/' 1 1
решений. 15.
3/~д -\- b — с
1
где для каждого радикала берется любое из трех значений.
478 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
то все решения
16. (X, 0, 0), (0, X, 0), (0, 0, X), где X — любое число; если а ф Ь ф с = О, то система
/X X Х\
имеет, кроме указанных решении, еще решение I — , —, —), где X — любое
\а о с )
число; если а ф Ъ ф с Ф О, но хотя бы одно из чисел — аф Ь фс, а — Ьфс, афЬ — с равно нулю, то система имеет только решения (X, 0, 0), (0, X, 0), (0, 0, X); если аф Ь ф с Ф 0, — а ф Ь ф с Ф 0, а — Ь фс Ф 0, афЬ — с Ф 0, то все реше -ния системы: (X, 0, 0), (0, X, 0), (0, 0, X), где X — любое число, и еще одно решение
