Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
угол (АХ, AM) имеет те же биссектрисы, что и угол (AB, АС); угол (BY, BM) имеет те же биссектрисы, что и угол (ВС, BA); угол (CZ, CM) имеет те же биссектрисы, что и угол (CA, СМ). Доказать, что АХ, BY, CZ пересекаются в одной точке M' или параллельны.
2°. Во всем последующем предполагается, что все углы треугольника ЛВС острые и что точка M расположена внутри этого треугольника. Будем называть точку M', построенную по точке М, так, как это было указано в п. 1°,—точкой, обратной для M относительно данного треугольника ЛВС.
а) Пусть а, ?, 7—проекции точки M на ВС, CA и AB, а а', ?', y' — проекции M' на те же стороны. Доказать, что точки а, ?, т, о!, ?', т' лежат на одной окружности; требуется определить положение центра этой окружности и установить соотношения
оТЙ • VM = Щ • f~W = Ym - T7M7.
б) Какова будет точка, обратная ортоцентру H треугольника ABC относительно этого треугольника?
Доказать, что существует эллипс (E), касающийся сторон треугольника, для которого Я будет одним из фокусов. Определить главную окружность этого эллипса (E).
в) Пусть касательные, проведенные из точки А' окружности (Г), описанной вокруг треугольника ЛВС, к эллипсу (?), пересекают окружность (Г) вторично в точках В' и С. Пусть (?0 — эллипс, касающийся сторон треугольника А'В'С, для которого одним из фокусов является центр О окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Определить второй фокус эллипса (E') и его главную окружность.
94**. Даны две взаимно-перпендикулярные оси: х'Ох и у'Оу; на оси Ox фиксированы точки А и В с абсциссами, соответственно равными а > 0 и — а. Через точки А и В проведены прямые a'Aa и v'Bv, параллельные у'Оу. Наконец, на оси Ox фиксирована еще точка F с абсциссой с > а.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
26S
Переменная прямая, проходящая через точку F9 пересекает а'Au в точке а, * a v'Bv— в точке f. Пусть (С)— окружность с диаметром и пусть она вторично пересекает и'Au в точке ?, a v'Bv— в точке 8. Построим окружность^'), центр / которой совпадает с центром окружности (C)9 но которая касается сторон ?f и сс8 прямоугольника a?^8.
1°. Доказать, что касательные, проведенные из F к (C)9 образуют между собою постоянный угол 26; выразить sin б через а п C9 доказать, что касательные ОТ и ОТ', проведенные из О к окружности (С), фиксированы, и вычислить угол, между ними; доказать, что окружность (С) на прямых ОТ и ОТ' высекает хорды постоянной длины. 2°. Пусть поляра точки О относительно окружности (С) пересекает (С) в точках M и N9 прямую у'Оу — в точке H9 а прямую IF— в точке К. Вычислить в функции ординаты у точек этой поляры, а в функции а
и с — следующие величины: 0I9 HI9 HK9 радиусы г и R окружностей (С) и (С) и длину отрезка HM. Найти геометрическое место (А) точек К и геометрическое место (F) точек M vi N. Какую роль играют O9 A9 B9 F9 (A), OT9 ОТ' по отношению к (F)? 3°. Обозначим через J точку, в которой касательная в точке M к окружности (С) пересекает у'Оу. Вычислить OJ и доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника IMJ9 проходит через две фиксированные точки. Доказать, что окружность (С) касается в точках MnN линии (F).
4°. Получить из предыдущих результатов свойства окружностей, центры которых расположены на мнимой оси гиперболы и которые касаются этой гиперболы.
95**. А. 1°. Найти геометрическое место фокусов F линий второго порядка, соответствующих данной директрисе (А), если заданы точки M1 и M29 через которые проходят эти линии. 2°. Найти фокусы F линий второго порядка с заданной директрисой, соответствующей этому фокусу и проходящей через три данные точки: M19 M29 M3. 3°. Предыдущий вопрос, если заданы директриса (А), две точки M19 M2 и касательная (T) к линии 2-го порядка в точке M2. В. Рассмотрим все эллипсы (E)9 имеющие данную директрису (А) и данную вершину S9 не лежащую на фокальной оси (8). Обозначим через S' проекцию .S на (А), через (т) — окружность с диаметром 5.S', через (F) — окружность с центром S9 проходящую через S'.
i°. Найти геометрическое место фокусов F эллипсов (E). 2°. Определить эллипсы (E)9 которые проходят через данную точку M и, следовательно, через точку M', симметричную M относительно (8). Доказать, что, если точка M лежит на окружности (F)9 задача имеет только одно решение; если же M лежит внутри (F), задача имеет два решения (можно использовать инверсию с полюсом S). 3°. Доказать, что если точка M описывает (F)9 F описывает лишь дугу (у). Вывести отсюда, что эллипсы (E) делятся на две группы: (E1), которые имеют с (F) по две общие точки, и (Е2)9 не имеющие общих точек с (F). В каких пределах могут изменяться эксцентриситеты эллипсов (E1) и (E2)? 4°. Доказать, что через каждую точку M9 лежащую внутри (Г), проходит по крайней мере один эллипс из группы (E1). 96**. Даны две взаимно-перпендикулярные оси х'Ох и у'Оу и три точки А (а9 0), А'(—а9 0), B(O9 Ь)9 причем я>0 и ?>0. Переменная прямая (D) вращается вокруг точки В. Обозначим через /, H9 H' проекции точек O9 А и А' на прямую (D).
1°. Определить геометрическое место точек I9Hn Н'%
