Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
7°. Найти огибающую прямых EL и GM. III. 1°. Доказать, что для того, чтобы треугольник ABC был треугольником (T), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
или
Гі + г2 + г3=2р,
где гх, тг, г3—радиусы вневписанных окружностей, а 2р — периметр. 2°. Доказать, что углы треугольника (T) будут определены, если задано
отношение ~ = k, где г—радиус вписанной окружности, а 2р — периметр. Исследовать. Доказать, что значения углов всякого треугольника (T) заключены один между 0 и ср, другой между ср и ~, а третий между ~ и 6, где ср и б — некоторые постоянные углы, которые
требуется определить. Может ли быть треугольник (T) равнобедренным? Каковы его углы в этом случае? 3°. Доказать, что для того чтобы треугольник ABC был треугольником (T), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение 4R -f- г = 2р, где R — радиус описанной окружности, /* — радиус вписанной окружности, а 2р — периметр. 73, I. а) В ориентированной плоскости заданы точки В и С. Найти геометрическое место точек M плоскости таких, что
(MB, MC)== ос (mod ~у
или, что то же,
(MB, MC) = <x-\-k^,
где а—заданный угол, п — заданное целое положительное число, a k — произвольное целое неотрицательное число (/г = 0, 1, 2, ...); через (MB, MC) мы обозначаем ориентированный угол от неориентированной прямой MB до неориентированной прямой MC
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
255
б) Найти все точки M плоскости, которые удовлетворяют одновременно двум уравнениям:
(MB. MC) = 0(mod;), Jg = -*.
Эти точки суть вершины выпуклого многоугольника P1, вписанного в окружность; занумеруем их: Af0, M1, M2, . . . Нумерация производится в порядке встречи этих точек, если описывать окружность, на которой они лежат в произвольном направлении. Если соединять эти точки в порядке M0, Мр, М2р, . . ., то получим многоугольник P . Как, зная п, следует выбрать р для того, чтобы P1 и Рр имели одинаковое тело сторон?*
в) Найти инверсию, в которой точки Мк преобразуются в вершины M'k правильного многоугольника. Обозначим через Q1 и Qp многоугольники— выпуклый и звездчатый с вершинами M'k. Начертить для п = 6 многоугольники P1 и Рр с одной стороны и Q1 и Qp с другой.
П. а) Точки В и С фиксированы, а точка А описывает окружность (Г), проходящую через В и С. Найти геометрическое место центров окружностей, вписанных и вневписанных в треугольник ABC. Дать сначала этому вопросу решение, позволяющее получить сразу все указанные геометрические места; затем разделить это геометрическое место на части, описываемые центром вписанной окружности и каждым из центров вневписанной окружности, противолежащих вершинам А, В, С.
б) Обозначим теперь через M центр вневписанной окружности, противолежащей вершине А, а через т — отношение Построить
треугольник ABC4 зная сторону ВС = а, описанную окружность (Г) и отношение т. Исследовать.
в) Решить тригонометрически треугольник ABC, зная ВС=-а, радиус R
описанной окружности и отношение = т, где M — центр вневписанной окружности, противолежащей вершине А. Исследовать, считая 0<т<1.
г) Произведем инверсию с центром С, сохраняющую В. Во что преобразуется фигура, рассмотренная в части II, а)? Как отсюда получить новое решение II, б)?
74**. Даны окружность (О) с центром О и радиусом R и на ней две фиксированные точки: А и В; I — середина отрезка AB. Переменная точка M описывает окружность (О).
1°. Доказать, что ортоцентр треугольника AMB описывает окружность (O1), симметричную (О) по отношению к AB. Изучить треугольник amb, образованный основаниями высот треугольника AMB (а— основание высоты, выходящей из Л и т. д.), а именно: найти геометрическое место вершин, огибающую сторон и геометрическое место центра окружности, описанной вокруг треугольника amb. Сравнить треугольники amb и a'mb'', соответствующие двум точкам M и Af', расположенным на одном перпендикуляре к AB.
2°. Положение точек А и AI на (О) определено углами: (Ox, OA) зафиксировано; (Ox, OAI)=Cp — переменное, от Ox до радиусов OA
и OAf, где Ox — ориентированная медиатриса отрезка AB. Вычислить площадь треугольника amb в функции а и ср. Для каких положений
* Под точкой МХр, где \р>2п— 1, мы понимаем точку MXp_2nq, где q — такое целое положительное число, что
О < Ip — Ъщ < 2п — 1.
256 Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
точки M эта площадь достигает экстремума? Определить M1 если задана величина площади треугольника amb. Исследовать. Вычислить периметр треугольника amb; определить M так, чтобы периметр имел данную величину; исследовать. Дать геометрическое решение этого вопроса.
3°. Доказать, что окружность (Q) с диаметром MH сохраняет свою величину и остается ортогональной к фиксированной окружности (/). Пусть (А) и (A1) — радикальные оси соответственно окружностей (О), (Q) и (O1), (Q) и пусть (А) и (A1) пересекаются в точке J. Как расположена точка J по отношению к треугольнику MHI? Каково геометрическое место точек У? Доказать, что (А) и (A1) огибают два эллипса: (е) и (^1).
