Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4°. Возвратимся к прямым (D). Требуется найти те из этих прямых, которые проходят через данную точку р' плоскости (P); для этого надо рассмотреть прообраз р точек р' в преобразовании A1 и точка т определится"тогда, как точка пересечения окружности (С) с некоторой прямой (исследования возможности этого пересечения производить не . нужно). В частности, доказать, что существуют две и только две прямые (D), проходящие через О; обозначим их через (U) и (V); определить эти прямые с помощью отрезков ии' и VV'.
5°. Какая-нибудь прямая (D), отличная от (U) и (VO и являющаяся медиатрисой отрезка mm', пересекает (U) в точке X', a (V)-B точке ja'. Обозначим через X и ja прообразы X' и ja' в преобразовании А, через X1 и [x1 — середины XX' и [J-JJl'. Доказать, что медиатрисы XX' и jaja' суть прямые um и vm, что точки X', X, О, и лежат на одной окружности и что точки%{а', jx1, О, V также лежат на одной окружности.
Установить, что треугольники иОУ и p'Ov подобны и имеют одинаковую ориентацию. Получить отсюда соотношение OX'•OjX' =
=zOu»Ov и получить, что пары полупрямых (Ou9 Ov) и (OX', Oja') имеют одну и ту же ось симметрии Х'ОХ. 6°. Отложим на Х'ОХ противоположно направленные векторы OF и OF', длина которых OF = OF' = YOu • Ov. Доказать, что точки F, F', X', jjl' лежат на одной окружности. Обратно: если точки X^ на (U) и на (V) лежат на одной и той же окружности, проходящей через F и F', и расположены по разные стороны от хорды FF' этой окружности, то прямая XqJj^ есть прямая семейства (D).
268
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
7°. Рассмотрим гиперболу (H) с фокусами F, Fr и асимптотами (U) и (1/). Установить, что — касательная к (H) и что обратно: всякая касательная к (H) принадлежит семейству (D). Вывести это, изучив огибающую прямых (D).
Часть вторая. В этой части предполагается, что окружность (С) имеет дугу, лежащую целиком вне гиперболы (H) (исследования условий взаимного расположения точек С, С и и, при которых это будет так, проводить не надо).
1°. Возьмем точку а' на этой дуге (С). Пусть а — прообраз а' в преобразовании Л. Построить, исходя из первой части, 4°, касательные к (H), проходящие через а'\ пусть они пересекают (С) вторично в точках Ъ' и с'. Предположим (что имеет место в случае, если а' не занимает исключительного положения на указанной дуге), что точки Ъ' и с' отличны от а'. Это построение связано с рассмотрением точки ? окружности (С) такой, что ее образ ?' в преобразовании А будет симметричен ? относительно я'с' и 'с рассмотрением точки f такой, что ее образ 7' в преобразовании А будет симметричен 7 относительно a'br. Пусть (J1 — середина ??'; — середина 77', U1 — середина aar. Используя вписанные четырехугольники #'#177 и а'Ь'фу, доказать, что Ь'фЦх'х. Вывести отсюда, что Ьг симметрична ? относительно uv, а также, что | и с' симметричны относительно UV.
2°. Пусть а — точка, симметричная а! относительно uv, о!—образ а в преобразовании А. Что будет медиатрисой аа'? (вернуться к /, 3°). Вывести отсюда, что существует бесконечное множество треугольников afbfcf, которые вписаны в окружность (С) и стороны которых касаются гиперболы (H).
3°. Доказать, что прямые аа', ??', 77' пересекаются в одной точке ср, расположенной на окружности (С), и что а', ?', 7' симметричны соответственно а', V, с' относительно О. Вывести отсюда, что точка, симметричная точке ср относительно О, есть ортоцентр треугольника a'b'c'.
100**. Даны отрезок AB = 2R и полуокружность (F) с диаметром AB. Рассмотрим окружности (со), центр со которых лежит на полуокружности (F) и радиус ыА
которых равен -у.
1°. Найти геометрическое место оснований H поляр точки А относительно этих окружностей и доказать, что все окружности (со) ортогональны одной и той же окружности (С).
2°. Пусть (CO1) и (со2) — две окружности рассматриваемого семейства, пересекающиеся в точках M и N. Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника MAN, касается AB, и найти предельные положения тип точек M и N при условии, что ^кружность (Co1) остается фиксированной, а (со2) стремится к ((O1). Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника тАп, проходит через центр Co1 окружности ((o1) и что прямая Лео есть биссектриса угла тАп.
3°. Рассмотрим инверсию (Л, 4R2). Пусть (/) — образ в этой инверсии какой-нибудь окружности (со) рассматриваемого семейства, (Z1) и (I2) — образы ((o1) и (со2), P и Q — образы M и N, а р и q — предельные положения точек PhQ, когда (со2) стремится к ((O1). Найти геометрическое место центров окружностей (/). Доказать, что отношение расстояний от точек р и q до точки Л и до касательной к (F) в точке В имеет значение (одно и то же для р и q), не зависящее от выбора окружности (Co1). Вывести отсюда, что при изменении (Co1) эти точки остаются на фиксированной линии второго порядка, и уточнить геометрическое место каждой из этих точек.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
269
4°. Пусть o)1 — образ точки (d1 в указанной выше инверсии. Доказать, что окружности, проходящие через A1 (d1 и соответственно через р и <7, ортогональны окружности (Z1). Вывести отсюда, что окружность (I1) и линия (H) касаются друг друга в точках р и q. 101***, В этой задаче предлагается изучить некоторые свойства плоских фигур, расположенных в данной ориентированной плоскости. Фигуру, образованную тремя точками, будем называть ориентированной, если эти точки взяты в определенном порядке; две такие фигуры: A1 B1 С и P1 Q1 R— будем называть прямо (или обратно) подобными, если точки A1 B1 С могут быть переведены соответственно в точки P1 Q1 R прямым подобием (соответственно — обратным подобием).