Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
266 Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
2°. Доказать, что ЫНН' остается подобным некоторому фиксированному треугольнику. Каково геометрическое место точек пересечения медиан этого треугольника?
3°. Обозначим через а угол между векторами OA и OI (из соображений симметрии можно ограничиться рассмотрением лишь следующего
интервала: 0 < а < ~j. Выразить длины АН и А'Н' через а, b и а
(можно, например, спроектировать на ось, определяемую вектором 01,
суммы AB = АО -j- OB и А'В = A1O -\- OB, причем следует различать два случая: прямая (D) пересекает х'Ох между О и Л и за точкой А).
АН
4°. Определить угол а так, чтобы -jtjjt — k (0 < k < 1 —данное число).
Таким образом, будут найдены две прямые (D); обозначим их через (D1) и (D2); что можно сказать про четыре прямых: BA', BA, (D1) и (D2)? Можно ли определить (D1) и (D2) геометрически? 97**. Пусть (P) — данная парабола с вершиной S, фокусом F и директрисой (D). Переменная прямая (А) постоянно проходит через точку F.
1°. а) Доказать, что, если прямая (А) не совпадает с SF, она пересекает параболу (P) в двух точках: M1 и AI2; как построить эти точки? в) Доказать, что точка О, в которой прямая (А) пересекает директрису (D), гармонически сопряжена с точкой F относительно M1 и M2.
2°. Обозначим через H1 и H2 ортогональные проекции точек M1 и M2 на прямую (D), через (С) — окружность с диаметром M1M2, а через (F)—окружность с диаметром H1H2.
а) Доказать, что окружность (С) остается касательной к фиксированной прямой, если (А) вращается вокруг (F).
б) Доказать, что окружность с диаметром FO ортогональна окружностям (С) и (F).
в) Доказать, что точка S имеет постоянную степень по отношению ко всем окружностям (С).
3°. а) Доказать, что окружность (С) касается фиксированной окружности; где ее радиус? Центр? б) Найти геометрическое место середин M отрезка .M1M2, когда (А) вращается вокруг F. Указать характеристические элементы этого геометрического места. 98**. Рассмотрим окружность (О) с центром О и радиусом R. Пусть А — фиксированная точка этой окружности. Построим окружность (С) радиуса р с центром в точке А. Возьмем на окружности (С) точку M и обозначим через (D) поляру точки M относительно окружности (О).
1°. Доказать, что огибающая прямых (D), если точка M описывает (С), есть линия второго порядка (F), для которой точка О является фокусом. Исследовать в зависимости от значений р тип линии (F). Доказать, что директриса этой линии, соответствующая фокусу О, есть касательная в точке А к окружности (О) и что главная окружность линии (Г) при любом р принадлежит к одному и тому же пучку окружностей; определить точки Понселе этого пучка. 2°. Изучить в зависимости от значений р существование и число общих касательных к линии (F) и к окружности (О). Доказать, что если P и Q— точки прикосновения одной из таких касательных соответственно с линией (F) и окружностью (О), то OP — биссектриса угла AOQ. 99**. В плоскости (P) заданы две окружности (С) и (С) разных радиусов. По этим окружностям с одной и той же скоростью, но в противоположных направлениях движутся две точки. Пусть т и т! — положения этих точек [соответственно на (С) и на (CJ] для одного и того же момента
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
267
времени. Предметом исследования настоящей задачи будет изучение семейства медиатрис (D) отрезка mm'.
Часть первая. 1°. Пусть О — середина отрезка CC Доказать, что в некоторый момент векторы Cm и Cm' будут иметь прямопротивопо-ложное направление и что им соответствуют два положения и и v
для первой точки т и положения и' и v' для второй точки т'; uv
—> <—*-
и u'v'—диаметры (С) и (C)1 причем uv и u'v' имеют противоположное направление. Обозначим через х'х прямую, проходящую через О, лежащую в плоскости (P) и перпендикулярную UV1 и пусть G— точка, симметричная О относительно uv. 2°. Что можно сказать про прямые (D)1 если точки OhG совпадают? Этот случай в дальнейшем исключается. Предполагая, таким образом, OG=J=Q, доказать, что симметрия относительно оси х'х, следующая
или предшествующая переносу, определяемому вектором GO1 переводит окружность (С) в окружность (С) и притом так, что каждое положение точки т переводится в положение соответствующей точки т' (окружность (С) может пересекаться с прямой х'х, а может и не пересекаться)..
3°. Рассмотрим точечное преобразование A1 которое произвольной точке р плоскости (P) ставит в соответствие точку р', которую мы получим, производя сначала симметрию в оси х'х с последующим переносом,
определяемым вектором GO. Определить преобразование, обратное для А\ где находится середина отрезка рр'? Могут ли точки р и р' совпадать? Обозначим через q точку, симметричную р' относительно Uv1 а через q' — точку, симметричную р относительно uv\ доказать, что А переводит q в qr\ доказать, что р и q симметричны относительно G, а р' и q' — относительно О. Представить преобразование А в виде произведения симметрии относительно оси на симметрию относительно точки.
