Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4°. В частном случае а = -^-, определить геометрическое место центров
переменной окружности (С), касающейся (C1) и (C2).
68**. Пусть ABC — переменный прямоугольный треугольник (А — прямой угол), гипотенуза ВС которого фиксирована. На высоте AD как на диаметре строится окружность (О') с центром О'. Найти геометрическое место центра / положительной гомотетии и геометрическое место центра J отрицательной гомотетии переменной окружности (О') и фиксированной окружности (О), описанной вокруг треугольника ABC, если точка А описывает всю окружность (О).
69*. В окружности с центром О даны хорды AB и CD, которые пересекаются в точке /. Через точку / проведена хорда EF, делящаяся в точке / пополам. Соединим точку А с точкой С, а точку В с точкой D. Прямые AC и BD пересекают EF в точках M и N. Доказать, что /—середина MN.
70. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник (AC и BD — диагонали). Инверсия с полюсом А и степенью к преобразует точки В, С, D в точки В', С', D'. Доказать, что
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
253
Получить аналогичные формулы для C1D' и B'D''. Вывести отсюда необходимое и достаточное условие
AB . CD + ВС- AD = AC . BD
того, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность. 71**. Углом, под которым окружность (О) видна из точки Л, называется угол между лучами, выходящими из точки А и касающимися окружности (О). Будем называть окружностью (О) окружность, которая видна из точки А под прямым углом. Обозначим через T точку прикосновения одной из касательных, проведенной из точки А к окружности (О), а через H—основание поляры точки А относительно окружности (О).
1°. Найти геометрическое место точек О и T, если окружности (О) проходят через данную точку В. 2°. Найти геометрическое место точек О, если окр)жности (О) касаются фиксированной прямой (А). К какой проблеме сводится построение окружности (О), касающейся данных прямых (А) и (A')?
~АО
3\ Вычислить отношение -~; построить окружность (О), если задана
АН
точка //.
4\ Пусть (O1) и (O2)—-две окружности (О), H1 и H2 — основания поляр точки А относительно этих окружностей; доказать, что радикальная ось окружностей (O1) и (O2) есть медиатриса отрезка H1H2 (рассмотреть окружность, проходящую через точки Л, H1, H2, и использовать 3°).
5°. Будем рассматривать окружности (О), ортогональные данной окружности (ш) радиуса р. Доказать, что тогда точка H остается на фиксированной окружности; найти ее центр и радиус. Доказать обратное положение. Найти геометрическое место точек О. 72***. В настоящей задаче предлагается изучить фигуру, образованную окружностями (а), (?), (y) с центрами Л, В, С и радиусами R1, R2, R3, касающимися внешне попарно друг друга.
Окружности (а) и (?) касаются в точке W, окружности (?) и (^)— в точке Uy а окружности (f) и (а) — в точке V. Кроме того, предполагается, что все эти окружности имеют общую внешнюю касательную (А), точки прикосновения которой к окружностям (а), (?) и (f) обозначим соответственно Р, Q и Т; все окружности расположены по одну сторону от прямой (А). Центры Л, В и С этих окружностей образуют треугольник, который мы назовем треугольником (T). Обозначим через 2d длину отрезка PQ. I. Даны две окружности (а) и (?), касающиеся внешне друг друга в точке W, и их общая внешняя касательная (А). Построить (\). Имеется, вообще говоря, два решения этой задачи: (^) и (у'); точки прикосновения окружностей (-[) и (тО к (А) обозначим соответственно через T (на отрезке PQ)
TP T7P
и T' (вне отрезка PQ). Вычислить отношения и =-. Доказать, что v ^ у TQ T'Q
радиусы окружностей (а), (?) и (у) или (а), (?) и (Y) связаны одним из
соотношений
1
V Rb
-L±-L Y Ri YR*
(1)
Пусть U и V — точки прикосновения окружности (7) к окружностям (а) и (?), a V и V — точки прикосновения окружности (7О к окружностям (а) и (?). Доказать, что точки V, V, U', V лежат на одной окружности, и вычислить отношение
UU' ¦ VV UV-U9V' *
254
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
II. В этой второй части треугольники (T) и (T'), соответствующие окружностям (г) и (7'). переменные, причем фиксированы прямая (А) и точки P и Q прикосновения к ней окружностей (а) и (?). Предложенные ниже вопросы следует решать сначала для треугольника (T), затем для треугольника (T'). Все время рассматриваются построения по одну сторону от прямой (А).
1°. Найти геометрическое место точек W и огибающую прямой AB.
2°. Доказать, что прямая WT проходит через фиксированную точку 2, а другая — через 2'.
3°. Найти огибающую окружностей (т). Найти геометрическое место центров С окружностей (т).
4°. Найти огибающую окружности, вписанной в треугольник ABC. Найти геометрическое место центра / окружности, вписанной в треугольник ABC. Доказать, что прямая CI проходит через одну или другую из фиксированных точек.
5°. Найти огибающую прямых AC и ВС. Пусть О — точка прикосновения AC к огибающей, a E— точка прикосновения ВС к огибающей.
6°. Найти огибающую прямых IU и IV. Пусть L— точка прикосновения IU со своей огибающей, a N — точка прикосновения IV со своей огибающей.
