Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
56. На полуокружности с диаметром AD, центром О и радиусом R берутся точки BnC такие, что / AOB острый, а угол BOC равен 90°. Пусть AB и CD пересекаются в точке Р, a AC и BD — в точке Q.
1°. Доказать, что треугольники ABQ, DCQ, ACP, DBP равнобедренные. 2°. Каковы высоты треугольника APD?
3°. Пусть хорда AB = R. Вычислить в функции R длины отрезков ВС, BD, BQ QD и CD.
4°. А и D фиксированы; угол BOC вращается вокруг О. Каково геометрическое место точек PuQ? Как изменяется отрезок PQ, когда Я и Q описывают свои геометрические места?
57. Отрезок AB постоянной длины а перемещается так, что его концы AuB скользят по полупрямым Ox и Oy, образующим между собою угол 30°.
1°. Пусть С — центр окружности, описанной вокруг треугольника О AB. Вычислить в функции а радиус R этой окружности. Что можно сказать про этот радиус, если AB перемещается? Каково геометрическое место точек С?
2°. Пусть AA' и BB' — высоты треугольника OAB (A' u В' — основания этих высот). Доказать, что вокруг четырехугольника А'ВВ'А можно описать окружность и что радиус этой окружности постоянный. Доказать, что А'В' сохраняет постоянную длину.
3°. Найти геометрическое место центров С окружности, описанной вокруг треугольника О Af В'. Пусть H—ортоцентр треугольника О AB. Доказать, что эта точка лежит на окружности, описанной вокруг треугольника О А'В'. Найти геометрическое место точек Н.
250
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
68*. Дан прямоугольный треугольник ABC1 причем / ВАС =90°. Пусть H— основание высоты, опущенной из А. Обозначим через DnE проекции точки H на стороны AB и АС. Доказать, что вокруг четырехугольника BDEC можно описать окружность. Пусть АН фиксирована, а треугольник ABC меняется однако так, что все время / ВАС = 90°. Доказать, что окружность, описанная вокруг четырехугольника BDEC1 проходит через две фиксированные точки. Определить положение этих точек.
59*. На прямой (D) даны фиксированные точки Am В. Пусть О — середина AB1 2а— длина отрезка AB. Пусть (С)— произвольная окружность, касающаяся AB и такая, что касательные к этой окружности, проведенные из точек А и В (отличные от AB)1 параллельны между собой. Пусть H — точка прикосновения окружности (С) с AB и (А)— прямая, проходящая через P параллельно касательным х'Ax и у'Ву, проведенным из А и В к (С). 1°. Построить (C)1 зная (А).
2°. Найти геометрическое место точек C1 если (А) вращается вокруг О. 3°. Построить (C)1 зная радиус R этой окружности.
4°. Построить (С), зная точку P1 в которой прямая AB пересекает хорду,
общую для окружности (С) и окружности с диаметром AB. 5°. Пусть IJ — диаметр окружности (О), перпендикулярный AB. Доказать, что CI и CJ — биссектрисы углов прямых (А) и CH. Доказать, что касательные к (C)1 перпендикулярные (А), касаются соответственно окружностей с центрами / и J и радиусами а. 60**. В плоскости задана окружность (О) с центром О и радиусом R = 30 мм, а также параллельные прямые (D) и (D') на расстояниях от точки О, соответственно равных ОН =50 мм и ОН' = 90 мм, причем ОН • ОН' > 0. Проведем к окружности (О) параллельные касательные (А) и (АО. которые пересекают (D) и (D') соответственно в точках А и В и в точках С и D. Пусть / — точка пересечения AD и ВС. Будем теперь изменять направление касательных (А) и (A') к окружности (О). 1°. Найти геометрическое место точек /.
2°. Доказать, что поляры (J) точек / проходят через фиксированную точку.
3°. Найти геометрическое место полюсов тип прямых ^4D и ВС относительно окружности (О). 4°. Найти геометрическое место проекций M и N точки О соответственно на прямые AD и ВС. 5°. Доказать, что прямые MN проходят через фиксированную точку,
и найти положение этой точки. 6°. Найти огибающую прямых AD и ВС. 61. Даны фиксированные окружности (C1) и (C2), лежащие одна вне другой, с центрами O1 и O2 и радиусами R1 и R2.
1°. Построить окружность (С) радиуса R, ортогональную окружностям (C1) и (C2). Каково геометрическое место центров С окружности (С), если R меняется? Доказать, что при этом все окружности (С) проходят через две фиксированные точки F и F'\ построить эти точки. 2°. а) Доказать, что всякой точке M соответствует точка M' такая, что точки M и M' сопряжены относительно каждой из окружностей (C1) и (C2).
б) Показать, как можно просто построить M', если известна точка М.
в) Каково геометрическое место точек M и M', если задана длина MM1 = L
3°. Найти геометрическое место точек M' и огибающую MM' при условии, что точка M описывает прямую (D), перпендикулярную O1O2.
4°. Найти геометрическое место точек M' и огибающую MM' при условии, что точка M описывает прямую (D)1 проходящую через F.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
251
62*. На сторонах BC9 CA и AB треугольника определить точки M9 N9 P такие, что BM = MN = NP = PA.
63. Треугольник ABC вписан в окружность (О) с центром О. Окружность (со) с цент;ом (d проходит через О. Построим еще три окружности: (A)t (B)1 (C)1 с центрами A1 B1 C1 равные окружности (О). Доказать, что прямые, проходящие через точки A1 В и C1 соответственно параллельные общим касательным и окружностям (А) и (со), (В) и (ш), (С) и (со), все касаются некоторой окружности, которая в свою очередь касается окружности (О).
