Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, в этом, относительно частном вопросе теории множеств уже в начале века выявилось то общее положение, которое через несколько лет в полной мере раскроется при рассмотрении других вопросов: суть расхождений между спорящими сторонами заключалась в несходстве общетеоретических установок — в данном случае в признании или отрицании понятия актуальной бесконечности.
По сути дела, это был вынужден признать и Борель в ответной статье «Парадоксы теории множеств» [18]. Он только,
5 Эта статья подписана «Evellin et Z.». Кто скрывается под этим «Z.», мне неизвестно. Что это был математик и притом незаурядный — это следует из характера статьи и прежних работ Эвеллена.
• Это сказано ими не такими словами, но вполне определенно (с. 438).
92
ссылаясь на математическую' практику, потребовал права рассуждать об актуально бесконечных счетных множествах. Что касается несчетных множеств, то он даже наметил путь отступления с позиции, занятой им в его предшествующей статье [17]: если там он просто оставил открытым вопрос о существовании несчетных множеств, то теперь он склоняется к тому, чтобы отказаться от них. Правда, теорема Дюбуа-Реймона вынуждала его признать существование несчетного' множества возрастающих непрерывных функций, поскольку доказательство его существования математически было безукоризненным, если признать существование актуально бесконечных счетных множеств. Но, с другой стороны, он соглашается с тем, что при помощи конечного числа слов можно определять только счетные множества. И в этом он видит парадоксальность теории множеств.
Возвращаясь к трансфинитным числам у Бореля, мы можем сказать, что борелевские обозначения и, ..., (о-2, ..., и", ... выступали просто как символы, выражающие характер роста функций, и он, кажется, не рассматривал их как обобщения порядковых натуральных чисел, чем они являлись у Кантора. Эти символы применялись им только в данном вопросе, и даже тогда, когда он значительно позднее наметил схемы операций над ними [38, с. 18—24], он старательно избегал как наименования «трансфинитное число», так и какого-либо сопоставления этих символов с порядковыми натуральными числами. Более того, он ограничивал совокупность таких символов знаками ©" с конечным и (со всякими промежуточными знаками), не пользуясь произвольными числами второго числового класса Кантора, хотя и указывал [38, с. 26], что теорема Дюбуа-Реймона позволяет строить функции, порядок роста которых превосходит порядок роста функций, которым соответствует символ со", каково бы ни было конечное п. «Эти функции останутся вне области нашего исследования. Они, быть может, появятся в будущих общих теориях, но мы не встретимся с ними в тех приложениях, которые мы дадим этим теориям» [38, с. 26]. Следовательно, борелевские символы— это просто знаки некоторых вполне конкретных аналитических построений, лишь выполняющие роль обозначений, аналогичную той, которую выполняют конечные числа в более простых случаях. И если, как мы видели, первоначально Борель еще придает своим символам более общий характер, задумываясь хотя бы о принципе трансфинитной индукции, то впоследствии он существенно сузил область их применения — узких у него и до этого,— ограничив их роль значением простых индексов в относительно частных случаях порядков роста достаточно простых функций. Более того, в 1903 г. он ставит вопрос об исключении трансфинитных чисел из математических рассуждений.
Высоко оценив теорему Бэра о функциях первого класса, Борель выражает неудовлетворенность тем, что при ее доказатель-
93
стве применяются трансфинитные числа [26, с. 903], и^ ставит перед собой цель получить без них частный случай этой теоремы, когда разрывная функция, имеющая такое множество P точек разрыва, что P' счетно, представима в виде предела последовательности непрерывных функций. Достоинство своего доказательства он видит в том, что для него не требуется понятия трансфинитного числа, что оно «основано просто на понятии счетного множества» (с. 904). С этой же точки зрения Борель высоко оценивает (с. 904) доказательство Линделёфом и Лебегом теоремы Кантора — Бендиксона без применения трансфинитных чисел' и прямо пишет: «Эти примеры позволяют надеяться, что можно будет прийти к исключению этих чисел из многих вопросов, в которых это введение казалось до сих пор необходимым; действительно, кажется, что благодаря этому всегда выигрывают в простоте и ясности» (с. 904).
Небезынтересно, что Борель, ставя свое доказательство в один ряд с доказательством Линделёфа — Лебега, не захотел — или не сумел — заметить два обстоятельства. Одно из них состоит в том, что в теореме Кантора—Бендиксона содержатся два различных момента, по-разному связанных с проблемой трансфинитных чисел, о которых мы скажем несколько далее. Второе еще более поразительно: доказательство Линделёфа основано на понятии точки конденсации, т. е. точки, в любой окрестности которой содержится несчетное множество точек. Другими словами, это доказательство необходимо требует привлечения несчетной мощности, тогда как пафос рассуждения Бореля при доказательстве своей теоремы состоял в указании счетного процесса построения последовательности непрерывных функций. Казалось бы, что Борелю, ставшему на точку зрения признания только счетных процессов, нужно было отвергнуть рассуждения Линделёфа как обращающиеся к незаконному понятию. А он вместо этого отмечает его интерес ради того, чтобы подтвердить свой тезис о целесообразности исключения трансфинитных чисел из рассуждений.
