Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Как раз этой идеей и воспользовался Борель в 1898 г., когда он впервые приступил к изложению теории трансфинитных чисел. Это было сделано им во втором прибавлении к его «Лекциям по теории функций» [14, с. 121, 122]. Он отправляется от последовательности возрастающих функций:
Фі(*), <Pi(*), .... <М*), ... (1)
4 О нем см. Натансон [1, с. 413].
90
и после доказательства теоремы Дюбуа-Реймона обозначает функцию, растущую быстрее всех функций последовательности (1), через фю(х); затем, пользуясь замечанием, что порядок роста функции ф[ф(*)] превосходит порядок роста функции ф(*), строит функции фа+і(л), фш+г(я) и т. д. После этого вновь применяется теорема Дюбуа-Реймона и получается функция фи2(д:) и т. д. Эти символы шкалы порядков роста и выполняют у Бореля роль трансфинитных чисел. Здесь же (с. 119—122) он критикует подход Кантора, основанный на принципах порождения.
Видимо, эта критика дала повод к тому, что у некоторых читателей борелевской книги [14] сложилось мнение, будто Борель не ценит труды Кантора. В частности, философ Эвеллен, резко выступивший против теории множеств в статье «О новой бесконечности» [1], сослался на книгу Бореля [14] как на пример математической работы, в которой канторовские идеи освобождены от таинственного смысла, наложенного на них понятием актуальной бесконечности (с. 481).
Чтобы опровергнуть подобные мнения, а вместе с тем привлечь внимание и философов к трансфинитным числам, Борель публикует в философском журнале статью «По поводу новой бесконечности» [17]. Здесь он высоко оценивает труды Кантора и подчеркивает их большое влияние на собственные исследования. Но вместе с тем он опять описывает содержание теоремы Дюбуа-Реймона и разъясняет применения ее для построения несчетной шкалы порядков роста функций. В заключение он сравнивает обыкновенную и трансфинитную индукции и ставит вопрос: «Нужно ли вводить новый вид индукции, имея в виду не только счетную последовательность целых чисел, но и несчетную последовательность функций со все большим и большим ростом?».
Борель пока не решается дать утвердительный или отрицательный ответ на этот вопрос, но определенно формулирует тезис, который впоследствии приведет его к отрицательному решению: «Трудность, которую приобретает эта концепция [несчетного множества.— Ф. Af.], состоит в том, что всякий определенный [выделено Борелем.— Ф. Af.] способ построения этой последовательности [возрастающих функций.— Ф. Af.] благодаря только тому, что он выражается при помощи конечного числа слов, приводит к счетной последовательности; однако, с другой стороны, теорема Поля Дюбуа-Реймона позволяет нам выйти за пределы построенной последовательности. В этом кроется антиномия, которую анализ, видимо, не может решить; тем не менее мне кажется несомненным, что последующее развитие математики неизбежно приведет к выбору, т. е. к допущению или изгнанию трансфинитного (или несчетной бесконечности)» [17, с. 390]. Сам он, как мы увидим далее, выбрал последнее.
Названная статья Бореля была направлена отчасти против Эвеллена с его установкой на отрицание актуальной бесконеч-
91
ности. Для ответа Борелю Эвеллен призвал на помощь, по-видимому, математика, причем довольно сильного и вместе с тем противника канторовской теории множеств5. В их совместной работе, опубликованной в 1900 г. в том же журнале и под тем же наименованием [1], интересно рассмотрена проблема трансфинитных чисел. Авторы отрицают необходимость трансфинитных чисел в математике как символов, предназначенных для описания свойств актуально бесконечных множеств, поскольку они таковых не признают. С этой точки зрения они анализируют доказательство Бореля теоремы, что множество непрерывных возрастающих функций все более высоких порядков роста является несчетным, и приходят к выводу, что в своем доказательстве Борель сделал одно молчаливое допущение, а именно: что множество натуральных чисел он мыслит завершенным6. Сами они, отправляясь от положения, что натуральный ряд чисел представляет собой просто потенциальную бесконечность, а в остальном четко соблюдая ход рассуждений Бореля, получили, что и множество возрастающих функций, рассмотренное Борелем, тоже является только счетным в том смысле, что каждой такой функции можно поставить в соответствие определенное натуральное число. Само это множество оказывается, естественно, тоже потенциально бесконечным. Если принять их исходную посылку о потенциальности натурального ряда, то их интересные рассуждения кажутся безупречными, по крайней мере, на столько же, как и рассуждения Бореля.
Таким образом, Эвеллен и его соавтор правильно нащупали, пожалуй, самый важный пункт, отправляясь от которого, математики— сторонники актуальной бесконечности — приходят к трансфинитным числам. Правда, они не стали отрицать полезности этих чисел в математических рассуждениях (они уже познакомились с диссертацией Бэра, где эти числа нашли новые полезные применения), но для них они «только удобное систематическое обозначение и они полезны лишь после освобождения их от понятия бесконечности, которое им придал г. Кантор» [1, с 139].
