Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Иначе обстоит дело в случае Бэра. Он с первых своих шагов в науке без оглядки вступил в новый мир идей и методов и ра-
35
ботал исключительно над ними. Даже тогда, когда ему пришлось — видимо, по долгу службы16 — излагать вопросы теории функций комплексного переменного, он подчеркивал, что разделение анализа на действительный и комплексный имеет столь фундаментальный характер, что они образуют две совершенно различные науки [16, с. V].
Как и Борель, Бэр в 1892 г. был принят одновременно в Политехническую и Нормальную школы. Как и Борель, Бэр выбрал последнюю (видимо, руководствуясь теми же мотивами) и окончил ее в 1895 г., получив звание преподавателя математики средней школы.
Интерес Бэра к теории функций действительного переменного связывают иногда " с двумя факторами. Во время экзаменов на звание преподавателя Бэр занял первое место за письменную часть экзаменов, но в общем балле по математике он был поставлен только на третье место вследствие ошибки на устном экзамене при ответе на вопрос о непрерывности экспоненциальной функции. Бэр осознал, что то доказательство, с которым он ознакомился во время обучения в 1891 г. на математическом отделении лицея Генриха IV, неудовлетворительно в некоторых отношениях, и это направило его помыслы на понятие непрерывности функции и на понятие функции вообще.
Вторым (по-видимому, более важным) фактором явилось воздействие Вольтерры. По окончании Высшей Нормальной школы Бэр был послан в качестве степендиата (boursier d'etude) в Италию, где была сильна традиция теории функций действительного переменного и где он познакомился с Вольтеррой, внесшим существенный вклад в разработку этой теории. Последний оценил оригинальность мышления Бэра и оказал на него определенное влияние в смысле ориентации научных изысканий.
Не следует, однако, забывать, что во время обучения в Нормальной школе Бэр прослушал курс лекций Ж. Таннери по теории функций действительного переменного, так что у него были и другие стимулы заняться этой теорией.
Если не считать издания Бэром в 1895 г. лекций Пуанкаре по аналитической теории теплоты, то первой опубликованной его работой была, по-видимому", заметка 1897г.«Относительнообщей теории функций действительного переменного» [1]. Автор отправлялся в ней от восходящей к Дини проблемы взаимосвязи непрерывности функции двух переменных по каждому переменному отдельно с непрерывностью ее по совокупности переменных. Введя понятия полунепрерывной функции и колебания функции в точке (с. 694), он с их помощью решает поставленную проблему
16 В это время Бэр преподавал математический анализ на Факультете наук
в Дижоне. » См. Костабель [1, с. 406—407].
18 Полного перечня работ Бэра в известных нам его биографиях не имеется. 36
в том смысле, что всякая функция двух переменных, непрерывная но каждому переменному, является точечно разрывной относительно совокупности переменных, т. е. на всякой дуге из области задания функции существуют точки, в которых она непрерывна по совокупности переменных (с. 694). В частности, отсюда он получает, что функция, удовлетворяющая условиям предыдущей теоремы, на прямой у=х сводится к функции одного переменного, которая будет точечно разрывной на этой прямой, и тут же задается вопросом о характеристике класса точечно разрывных функций одного переменного. Он показывает, что к этому классу принадлежат функции:
1) не имеющие разрывов первого рода или имеющие таковые только на конечном или бесконечном, но приводимом, множестве точек;
2) имеющие разрывы на совершенном нигде не плотном множестве, причем в точках этого множества функция принимает одно и то же значение;
3) являющиеся суммой конечного числа или бесконечного ряда таких функций.
Вместе с тем Бэр указывает, что перечисленные в пп. 1)—3) функции не исчерпывают всего класса точечно разрывных функций одного переменного.
То, что в (1] Бэру удается получить только частные результаты, видимо, объясняется недостаточно общим его подходом к понятиям полунепрерывности и колебания функции, которые он определял только по отношению к интервалам. Но уже в следующей работе «О разрывных функциях, разложимых в ряды непрерывных функций» [2], появившейся в 1898 г., он, введя понятия колебания функции по отношению к совершенному множеству, непрерывности по отношению к совершенному множеству и точечно разрывной функции, получил фундаментальный результат, известный под наименованием «теоремы Бэра о функциях первого класса»: «Если ряд, членами которого являются непрерывные функции от х, сходится для каждого значения х, то он представляет функцию, которая точечно разрывна относительно всякого совершенного множества. Обратно, если функция f(x) является точечно разрывной относительно всякого совершенного множества, то существует последовательность непрерывных функций fi(x), fz(x), fn(x), которая для каждого значения X0 переменного X стремится к f (*<,)» [2, с. 886].
Так был выделен первый класс функций будущей классификации Бэра и дана структурная характеристика функций этого класса. Этой теоремой в некотором смысле завершалось изучение функций, являющихся пределами однократных или простых последовательностей непрерывных функций. Дини в 1878 г. нашел условия непрерывности в точке предела такой последовательности; Арцела в 1884 г. установил условия непрерывности ее на сегменте. Оставалось охарактеризовать пределы таких поеледо-
