Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в последней четверти XIX столетия во Франции был подготовлен тот взлет теоретико-функциональных исследований, который на рубеже веков был связан с именами Бореля, Бэра, Лебега, Фреше, Данжуа и др. Оригинальные работы Дарбу и Жордана, переводы и рефераты работ зарубежных авторов, популяризаторская работа и осмысливание новых достижений математики, лекции в высших учебных заведениях — все это подготовило ту почву, на которой выросла новая школа теории функций и множеств, причем не национального, а мирового масштаба.
43 См. Пикар [5, с. 19—21].
Глава вторая
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАСЦВЕТ ФРАНЦУЗСКОЙ ШКОЛЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ
§ 1. Первые результаты Бореля
В 1889 г. в возрасте 18 лет Борель сдал вступительные экзамены и был одновременно зачислен в Политехническую и в Высшую Нормальную школы. Хотя в смысле последующей жизненной карьеры учеба в Политехнической школе сулила, казалось бы, больше успехов и многие советовали Борелю остановить свой выбор на ней, он предпочел Нормальную школуПричина была достаточно очевидной: как говорилось в предшествующей главе, Политехническая школа к этому времени представляла собой малоинтересное в научном отношении учреждение, тогда как Нормальная школа выходила на широкую арену научной деятельности; Бореля же «очень влекло к себе научное образование, в особенности математическое» (Де Бройль [1, с. 67]). Призыв на военную службу несколько помешал его нормальной учебе, хотя ему и было разрешено заниматься в университете в Монпелье, где он служил в армии. Затем он возвратился в Нормальную школу и окончил ее в 1892 г. В 1894 г. он защитил докторскую диссертацию и был назначен преподавателем Лилльского университета, где проработал до 1897 г.
Научные работы Бореля начали появляться с 1889 г. Он в течение всей жизни отличался большой научной плодовитостью. Только с 1889 по 1901 г. включительно он опубликовал 65 работ. Мы не намерены в какой-то мере характеризовать всю его научную деятельность, распространявшуюся на очень многие области математики, математического естествознания, философии и т. д. Наша цель гораздо скромнее: выделить те моменты ратших работ Бореля, которые подводили к новому периоду развития теории функций действительного переменного. Поэтому, лишь упомянув одну из его самых первых работ — «Об изменении порядка членов в полусходящемся ряде» [1], опубликованную в 1890 г. и свидетельствовавшую о его раннем интересе к теории рядов (не выходившем в то время за рамки классического анализа), мы основное внимание уделим нескольким его фундаментальным трудам конца прошлого века, изредка привлекая примыкающие к ним исследования.
1 См. Де Бройль [1, с 67]
28
Первой такой фундаментальной работой явилась его докторская диссертация «О некоторых вопросах теории функций», защищенная в 1894 г. и вышедшая из печати в 1895 г. Большей частью она посвящена теории функций комплексного переменного, и нам нет нужды останавливаться на всем ее содержании. Выделим только несколько моментов.
Сколь бы многообразны и значительны ни были работы Ри-мана, Ганкеля, Кантора, Дарбу, ВейерШтрасса, Дини и др. по теории функций действительного переменного в XIX в., все же можно утверждать, что они даже в совокупности не определяли картину аналитических исследований. Главным объектом изучения являлись аналитические функции. Диссертация Бореля [2] интересна, в частности, тем, что в ней достаточно отчетливо намечен подход к изучению неаналитических функций (причем сам этот подход вырастал в рамках теории аналитических функций), а также тем, что и при изучении аналитических функций приходилось привлекать теоретико-множественные соображения.
И в том и другом Борель не был пионером. Привлечение теории множеств в теорию функций комплексного переменного началось раньше и в XIX в. в некотором смысле достигло кульминации в работах Миттаг-Леффлера начала 80-х годов2; во Франции аналогичные шаги предпринимал, например, Пуанкаре. В диссертации же Бореля началось обогащение теории множеств в ходе изучения аналитических функций.
Одним из самых важных результатов Бореля явилась его знаменитая теорема о конечном покрытии. Собственно, она тоже не была новой для 1895 г. Ею в несколько иной форме (и притом даже в более общем виде) пользовались математики XIX в., в частности Вейерштрасс; Пинкерле в 1882 г. выделил ее в качестве самостоятельной теоремы и указал на некоторые ее применения 3. Однако ту прозрачную теоретико-множественную форму, в которой она прочно вошла в математику, ей придал именно Борель. Он сформулировал ее так: «Если на прямой имеется бесконечное множество таких частичных интервалов, что всякая точка этой прямой является внутренней, по крайней мере, для одного интервала, то можно эффективно определить ограниченное число интервалов, выбранных из заданных и обладающих тем же свойством (всякая точка прямой является внутренней по крайней мере для одного из них)»[2, с. 44]. Под «прямой» Борель разумел замкнутый отрезок прямой, включение понимал как строгое, а исходное множество интервалов мыслил счетным.
