Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX—XX вв - Медведев Ф.А.
Скачать (прямая ссылка):
47
[2, с. 210] и высоко оценил некоторые результаты Бореля и Бэра. Сам он нередко подходил к проблеме введения неаналитических функций, например в работе [3], но, кажется, ограничивался лишь указаниями на интерес изучения таких функций. Даже при рассмотрении разложений функций в экспоненциальные ряды [4] в 1913 г., когда теоретико-функциональные методы были достаточно разработаны, он не пользовался ими. Это не означает, конечно, что его результаты не были интересными для теории функций. В той же работе [4], например, им построены примеры экспоненциальных рядов, суммы которых равны нулю всюду, кроме отдельных точек, где значение суммы отлично от нуля. Подобных результатов много не только у Пикара, но и у Пуанкаре, Адамара и др.; их изложение увело бы нас слишком далеко от нашей основной темы.
Перейдем поэтому к работам несколько иного характера. Здесь, по-видимому, следует начать со статьи Паде «О сходящихся или расходящихся целых рядах и рациональных непрерывных дробях» [2]. Ей предшествовала заметка в «Докладах Парижской академии наук» за 1893 г. [1], а еще за год до этого в Париже вышла его диссертация «О приближенном представлении функции рациональными дробями», где были изложены те же идеи, что и в [2].
С точки зрения предыстории теории суммирования расходящихся рядов работа Паде [2] заслуживает внимания по следующим соображениям.
Расходящиеся ряды появились чуть ли не вместе с рождением анализа; ими занимались многие математики и даже, начиная с Эйлера, предлагали различные методы их суммирования. Асимптотические разложения тоже, как мы сказали, внесли свой вклад в возбуждение интереса к ним.
Вместе с тем несомненно и то, что преобладающей тенденцией в изучении рядов в течение всего XIX в. было стремление избегать использования расходящихся рядов. Это в 1826 г. отчетливо выразил Абель: «Расходящиеся ряды иногда могут служить как символы для выражения того или иного предложения в сокращенном виде; но их никогда не следует ставить вместо определенных величин: таким путем можно доказать все, что угодно,— возможное и невозможное» [1, с. 220]. Еще более определенно он выразился в письме своему учителю Хольмбое: «Расходящиеся ряды вообще являются делом дьявола, и стыдно, что некоторые основывают на них свои доказательства, ...вследствие чего существенная часть математики оказывается необоснованной. Правда, результаты большей частью правильны, но это довольно странно»33. Подобные соображения высказывали и другие математики. Результатом явилась общая атмосфера подозри-
м Цитируется но Туччьяроне [1, с 2]. 48
тельного отношения к расходящимся рядам, столь характерная для аналитиков прошлого столетия.
Сам Паде еще не совсем вырвался из этой атмосферы. В самом начале статьи [2] он упрекает авторов некоторых трактатов по анализу за «скандальную» нестрогость в отношении бесконечных рядов. Приведя затем слова Абеля [1, с. 219] о том, что произведение двух бесконечных рядов., образованное в соответствии с обычным правилом умножения, имеет смысл лишь тогда, когда все ряды сходятся, он солидаризуется с ним в случае произвольных числовых рядов. Вместе с тем он делает вполне осознанную попытку вырваться из столь жестко очерченных рамок. Общие соображения Паде [2, с. 98] в пользу обращения к расходящимся рядам и возможности узаконивания действий над ними не очень определенны. Но они основываются на определенных математических фактах.
Еще начиная с Ламберта было известно, что некоторые сходящиеся непрерывные дроби могут быть превращены в расходящиеся ряды. В 1879—1885 гг. Лагерр установил, что многие расходящиеся степенные ряды можно преобразовать в сходящиеся непрерывные дроби; в 1885—1888 гг. Альфан обнаружил, что непрерывная дробь может расходиться, а соответствующий ей степенной ряд будет сходящимся. Паде был знаком с их работами, и это привело его к мысли, что некоторые виды расходящихся степенных рядов могут оказаться предметом математического изучения. Более того, над расходящимися рядами можно производить операции сложения и умножения. Для оправдания своих соображений он разработал специальный аппарат разложения функций в цепные дроби и воспользовался им.
Паде не пришел к идее суммирования расходящихся рядов. Но тот факт, что такие ряды он сделал объектом изучения и поставил некоторые из них на один уровень со сходящимися рядами, с одной стороны, служил делу разрушения укоренившихся представлений, а с другой — способствовал привлечению математиков к их изучению. Мы упоминали (с. 32), что Борель узнал о работе Паде [2] уже после написания своего мемуара [8]. Однако Паде печатался и раньше; в 1891 г. он сообщил о некоторых своих результатах учителю Бореля Ж. Таннери, а его заметку Г1] представил Академии наук Аппель — будущий деверь Бореля. Так что идеи Паде были достаточно распространены во Франции до первых работ Бореля по расходящимся рядам и могли сказаться неявно.
Иначе обстоит дело в случае еще двух французских математиков — Сервана и Леруа. Они к началу своих занятий расходящимися рядами уже были знакомы с основными работами Бореля, существенно опирались на'них и в некоторых отношениях развивали их далее. Оба они решали злободневные тогда проблемы теории функций комплексного переменного: нахождение особых точек аналитических функций, вычисление значений
