Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
A-B = C и А' — В' = С
часть А равновелика А', а часть В равновелика В', то части С ж С так-
Рис. 26.
же равновелики!
Мы сейчас поясним этот метод на примере. На рис. 26 к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 ж 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через С — этот факт мы уже использовали (см. п. 5). Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 ж 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 ж 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда и вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Прежде всего заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG1 составляющий половину шестиугольника DABGFE1 вокруг точки А по часовой стрелке, на угол 90°; тогда он совпадает с четырехуголь-
но Другими словами — дополнить две интересующие нас фигуры (два квадрата, построенные на катетах, и квадрат, построенный на гипотенузе) равными фигурами так, чтобы в результате этого дополнения получились равные фигуры.
ником CAJK1 составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и СAJKHB равновелики. Можно изготовить соответствующие фигуры из картона и непосредственным наложением убедиться в том, что они равновелики.
Упражнение 15. Укажите связь этого доказательства, проведенного методом дополнения, с доказательством Эпштейна.
12. В первом доказательстве методом дополнения нам пришлось немного повозиться с доказательством равно-великости исходных фигур; вычитаемые же части были
(рис. 27). Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рис. 27, при этом прямоугольник распадется на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов.
Выбросим сначала из прямоугольника несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе.
Эти части следующие:
1) треугольники I1 2, 3, 4;
2) прямоугольник 5;
3) прямоугольник 6 и квадрат 8;
4) прямоугольник 7 и квадрат 9.
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах.
весьма просты. Иными будут доказательства, с которыми мы сейчас познакомимся. Здесь за исходные фигуры, из которых путем вычитания равных частей хотят получить искомые квадраты, мы будем брать не две различные фигуры, а одну и ту же.
Рис. 27.
Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника
Этими частями будут:
1) прямоугольники 6 и 7;
2) прямоугольник 5;
3) прямоугольник / (заштрихован);
4) прямоугольник // (тоже заштрихован).
Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Действительно, из рис. 27 ясно, что:
1. Четыре треугольника 1, 2, <?, 4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7.
2. Прямоугольник 5 равновелик самому себе.
3. Прямоугольник 6 и квадрат 5, взятые вместе, равновелики прямоугольнику /.
4. Прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику II.
Доказательство закончено.
Упражнение 16. Проведите доказательство заново, заменив площади фигур их численными значениями, выраженными через а, Ь и с.
Упражнение 17. Если исходить не из прямоугольника, охватывающего всю пифагорову фигуру, а из его части, и немного изменить разбиение, то доказательство несколько упрощается. Соответствующий чертеж изображен на рис. 28. Покажите, что рис. 28 есть не что иное, как комбинация рис. 10 и рис. И.
13. Можно было бы привести целый ряд доказательств, подобных разобранному в п. 12; наметим лишь их план.
Предположим, что каждый из Рис 28.
трех квадратов, которые мы строили на сторонах прямоугольного треугольника, можно поворачивать вокруг соответствующих сторон треугольника. «Основное» расположение квадратов, из которого мы исходили в предыдущем пункте,— это такое, где все квадраты обращены наружу. Но можно также повернуть тот или иной квадрат. При этом возможны следующие случаи:
1°. Все квадраты обращены наружу.
2°. Все квадраты обращены внутрь.
3°. Квадраты, построенные на катетах, обращены наружу, а третий квадрат — внутрь.
4°. Квадрат, построенный на гипотенузе, обращен наружу, а два остальных — внутрь.
5°. Один из квадратов, построенных на катетах, обращен внутрь, а два других квадрата — наружу.
6°. Один из квадратов, построенных на катетах, обращен наружу, а два других квадрата — внутрь.
Последние два случая допускают еще варианты, поскольку обращенным внутрь (соответственно, наружу) может оказаться как меньший, так и больший из квадратов, построенных на катетах.
Во всех случаях доказательство проводится по образцу, намеченному в п. 12.
