Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Из-за скудности этих сведений бывает трудно отличить в приписываемых Пифагору открытиях его собственные достижения от того, чему обязаны, с одной стороны, его предшественникам, а с другой — ученикам. То же самое можно сказать и по поводу теоремы, почти всюду называемой именем Пифагора (во Франции, а также в некоторых областях Германии ее называют также иногда «мостом ослов»: les pontaux dues, die Eselbriicke):
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге. Было бы затруднительно ответить на вопрос, в чем состояло это доказательство. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид (живший около 300 г. до н. э. в Александрии) приводит в первой книге своих «Начал»; с другой стороны, П р о к л, который жил от 410 или 412 г. до 485 в Византии и Афинах, утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.
Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многие знают сонет ПІ а м и с с о:
Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном, Лаэртом и Плутархом, конечно вымышлен. А поэтому, увы, лишено основания и то насмешливое замечание о переселении душ, которое встречается у Генриха Гейне:
«Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».
В конце прошлого века начали высказываться самые разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку; это явилось следствием открытий Скиапарелли*) и других астрономов. Естественно, что вопрос о том, можно ли, применяя световые сигналы, объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 ООО франков тому, кто первым установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела (здесь, впрочем, случай Марса, как слишком легкий, исключался!); эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было предложено передать обитателям Марса или иной планеты световой сигнал в виде чертежа теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но мы на земном шаре твердо верим, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
2. Исторический обзор мы начнем с китайцев. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В ее первой части рассказывается о беседе двух лиц, живших около 1100 г. до н. э., но вряд ли отсюда можно заключить, что излагаемые факты были уже известны в то время, как это утверждается в предисловии, написанном в 1213 г. нашей эры. Возможно, что интере-
*) Итальянский астроном Скиапарелли открыл на Марсе каналы, которые долгое время предполагались искусственными.
сующая нас часть книги была написана лишь в начале нашей эры.
В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».
Здесь же приложен рисунок (рис. 1), который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Б а с-х а р ы; к этому вопросу мы еще вернемся в § 2, п. 14.
3. Кантор*) считает, что равенство
32+42 = 52,
— другими словами, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — было
3
Рис. 1. Рис. 2.
известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4
*)М. Кантор — крупнейший немецкий историк математики.
и 5. Мы очень легко можем воспроизвести их способ построения.
Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстояниях 3 м от одного конца и 4 м от другого (см. рис. 2). Теперь натянем веревку так, как это указано на рисунке. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиною в 3 и в 4 метра.
