Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.
В средние века теорема Пифагора, magister mathe-seos, определяла границу если не наибольших возможных, то по крайней мере хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облеченного в мантию профессора (рис. 7, 8) или в человечка в цилиндре (рис. 9) и т. п., в те времена всеобщей страсти к символам нередко употреблялся как символ математики. Столь же часто мы встречаемся с «Пифагором» в средневековой живописи, мозаике, геральдике.
6. В заключение этой вводной главы мы приведем различные формулировки теоремы Пифагора на греческом, латинском, немецком <и русском) языках.
У Евклида эта теорема гласит:
Ev тої; брбоуагЛог; Tptycovotc то олто тт); tijv орбір ycoviav uTTOTStvouarj; тгХєора; TSTpaytovov I'aov єаті тої; атго T&v tkjo 6p6/jV ycoviav Trspis^ODaaiv TrXsop&v тєтраушуоі;.
В дословном переводе это означает: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».
Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), гласит:
Omnis trianguli orthogonii quadratum factum ex latere subtenso angulo recto equale est coniunctioni duorum quadra-torum, qui ftunt ex duobus lateribus, qui continent angulum rectum.
В переводе: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».
В Geometria Gulmonensis (около 1400 г.) теорема читается так:
§Що ftrirt ЬаЬ bietlante Delbf qemeffen Щ bet їащгп tocmtr аЦо qxob аЦ bt) betjbe Dterfante, bt) bo toerben Iemeffeu DMt ben цш\х ttenben beb gerat, m) bo сщатгпг tretert in bem хгсЦгп щпЫ.
В переводе это означает: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».
<В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном с греческого Ф. И. Петрушевским («Евклидовых начал восемь книг, содержащие в себе основание геометрии», Санкт-Петербург, 1819), теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».}
В
аЧ2
J
а-Ь=3-4
Ъ2=?
G
Рис. 10.
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ
1. Начертим квадрат ABCD со стороной длины 7 см (на рис. 10 уменьшен). Отложим от его вершины А на сторонах AB и AD отрезки AE=AF=S см и через полученные точки EnF проведем прямые, параллельные сторонам квадрата. Обозначим точку пересечения одной из них со стороной DC через G, точку пересечения второй с ВС через H и, наконец, точку пересечения прямых EG и FH через /. Теперь исходный квадрат со стороною 7 см распался на следующие четыре части: квадрат со стороной 3 см, квадрат со стороной 4 ежи два равных прямоугольника, смежные стороны которых равны 3 и 4 см.
Чтобы найти площадь квадрата в квадратных сантиметрах, нужно, как известно, умножить число, выражающее длину стороны в сантиметрах, само на себя. Площадь прямоугольника равна произведению чисел, выражающих длины двух смежных сторон.
Рассматривая описанную выше фигуру, мы можем считать ее геометрическим изображением соотношения
72 = 32 + 42 + 2 - 3 - 4, или (если число 7 заменить суммой 3-)-4) соотношения (3+4)2 = з2 + 42+2.3.4.
Действительно, в результате вычислений в обеих частях равенств получаем 49.
В нашем примере мы брали числа 3, 4, 7, однако этот выбор был совершенно случайным. Мы получили бы тот же самый результат, взяв какие угодно числа а, Ь и их сумму а-\-Ъ. Наше рассуждение представляет собой не что иное, как геометрическое доказательство хорошо известной формулы
(a+b)2=a2 + b2 + 2ab.
Геометрическая фигура, которой мы здесь воспользовались для изображения формулы (а-\-Ъ)2 = а2-\-2аЬ-\-Ь2, была известна еще Евклиду, а также индусам до начала нашей эры. «Общее правило для увеличения заданного квадрата» выражалось ими не совсем ясно в следующих словах: «Прибавь к двум сторонам то, что охватывается при каждом удлинении, а у вершины — квадрат, который производится соответствующим удлинением».
4 о E
ъ
^90°-сс
с/
D
2. Начертим еще раз квадрат со стороной 7 см, но теперь разобьем его иначе. Отложим от вершины квадрата на каждой стороне по 3 см в таком порядке, как показано на рис. И. Полученные точки Е, F, G, H соединим последовательно друг с другом. При этом получится четы-рехугольник EFGH и четыре прямоугольных треугольника, вершины прямых углов которых совпадают с и вершинами исходного квадрата. Эти Q треугольники равны по двум сторонам и углу, заключенному между ними (первый признак равенства треугольников). Таким образом, гипо- РИС< ц# тенузы всех этих треугольников равны, и четырехугольник EFGH — ромб. Читатель, вероятно, уже заметил, что на самом деле этот четырехугольник не только ромб, но и квадрат. Действительно, обозначим угол AEH через а; тогда угол AHE оказывается равным 90°—а (в силу теоремы, утверждающей, что сумма углов треугольника равна 180°). Вследствие равенства всех четырех треугольников угол BEF равен углу АНЕ; а тогда угол HEF должен быть равен 90°, так как три угла с общей вершиной E образуют развернутый угол, равный 180°. Такое же рассуждение можно было бы провести и для остальных углов F1GnH ромба, но и приведенного доказательства уже вполне достаточно, так как равносторонний четырехугольник (ромб), имеющий один прямой угол, должен иметь только прямые углы.
