Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 18. Сделайте чертеж, отвечающий одному из случаев 2°— 6°, и с его помощью докажите теорему Пифагора.
Здесь мы наметим только простое доказательство, относящееся к случаю 3°. Впрочем, оно по существу совпадает с доказательством Аннаирици (ср. также рис. 28). Начертим снова охватывающий фигуру прямоугольник, который в данном случае превращается в квадрат (рис. 29). После того, как мы проведем еще одну вспомогательную диагональ, на чертеже можно будет насчитать 7 треугольников, равных первоначальному. Отнимая от охватывающего квадрата по четыре треугольника, мы в первом случае получим квадраты катетов, во втором — квадрат гипотенузы.
Упражнение 19. На рис. 29 диагональ проведена из вершины прямого угла основного треугольника; докажите, что эта диагональ перпендикулярна к гипотенузе основного треугольника. [Как указывает Аннаирици, этот факт был известен еще Г е р о н у. ] Как будет обстоять дело, когда квадрат гипотенузы обращен наружу?
14. Все эти доказательства можно совсем просто представить в «арифметической» форме. Мы здесь приведем одно подобное «арифметическое» доказательство, чрез-
вычайно простое и представляющее к тому же исторический интерес. Его можно найти у индусов,— со стереотипным «смотри» — в геометрии Б а с X а р ы (род. в 1114 г. н. э.), а также у китайцев, которые знали это доказательство, возможно, за 1000 лет до н. э. (ср. п. 2 § 1 и рис. 1). Относящийся к этому доказательству рис. 30 похож (по крайней мере, построением) на уже встречавшийся нам рис. 20. Исходный прямоугольный треугольник вкладывается здесь четырежды в квадрат, построенный на гипотенузе, причем в остатке остается еще малый квадрат, сторона которого равна а— Ь, где а — длина большего катета, а Ъ — меньшего. Таким образом, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, выражается так:
с2=4^ + («-&)2. Раскрыв скобки, сразу же получим: с*=а*+Ъ\
Упражнение 20. Чтобы провести «геометрическое» доказательство, базируясь на этом разложении, достаточно из 5 частей, на которые распался квадрат, по-S' строенный на гипотенузе, составить два
других квадрата, сложенные в виде «стула невесты». Вырежьте эти части и постарайтесь сложить их требуемым образом.
15. В заключение этого параграфа мы приведем еще три доказательства, которые также имеют вычислительный характер, однако сильно отличаются от всех предыдущих. Первое из них опубликовано англичанином X о у К И H С О M в Рис. 31. 1909 г.; было ли оно известно до
этого — трудно сказать. Прямоугольный треугольник ЛВС с прямым углом С повернем на 90° так, чтобы он занял положение CCB' (рис. 31). Продолжим гипотенузу В'С за точку С до
пересечения с линией AB в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'AB. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник САВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника CAC и CBB' (или на два треугольника С В' А и С В'В). Площадь тре-
угольника CA С равна у, а площадь треугольника CBB' — а2
у ; таким образом, площадь четырехугольника С АВ'В равна
2 *
Треугольники CB' А и С В'В имеют общее основание с и высоты DA и Z>5; поэтому площадь четырехугольника С АВ'В можно также выразить в виде:
S= с-^+^= I (DA +DB) = f
Сравнивая два полученных выражения для площади S, получим:
а2 + 62 = Л
16. Происхождение рис. 32 совершенно ясно: это нижняя половина рис. 11. Площадь s изображенной на рис. 32 фигуры можно найти, если рассматривать ее как сумму площадей трех треугольников:
*=2f + f
С другой стороны, рассматривая эту фигуру как трапецию, получаем
s=2a-±* (а+Ъ).
Приравнивая найденные выражения, получим:
с2=a2 + 62.
Это доказательство было опубликовано в 1882 г. Гэрфилдом.
Упражнение 21. Воспользуйтесь разложением, которое получится, если дополнить рис. 32, симметрично отразив его от прямой PQ.
Упражнение 22. Используйте рис. 33 для доказательства, основанного на вычислении площадей двумя способами (В а л ь д х е й м).
17. Как указали Бернштейн и Шорер, если рассматривать задачу о покрытии плоскости равными многоугольниками («паркетом»), то станет ясной связь
ч4
/
і /
/
/
/
/
TT
Рис. 34.
Рис. 35.
между некоторыми из изложенных доказательств. В слу« чае равнобедренного прямоугольного треугольника, когда разложение имеет вид, изображенный на рис. 5, весьма легко установить связь этого доказательства с возможностью двоякой укладки паркета в виде сети квадратов. Одного взгляда на рис. 34 достаточно, чтобы это стало ясно.
Более поразительным кажется тот факт, что для укладки паркета можно применять даже «стулья невесты».
111
-3F
Это означает, что, прикладывая друг к другу такие фигуры, можно заполнить ими сплошь всю плоскость без пробелов и двойных покрытий. На рис. 35—37 за основу
взят именно этот способ укладки паркета; на этих же рисунках пунктиром изображено покрытие равными квадратами. Различаются эти рисунки не величиной квадратов, а только их расположением: в одном случае вершины пунктирных квадратов находятся в центрах больших квадратов; в другом — в одинаково расположенных смежных вершинах малого и большого катетов; в третьем лежат вблизи центров больших квадратов. Не исключена возможность также другого расположения вершин пунктирных квадратов.
