Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие исследования в этом направлении ведут к другим плоским фигурам, стороны которых выражаются рациональными числами: прежде всего к параллелограммам с рациональными сторонами и диагоналями, к произвольным и специальным четырехугольникам (например, вписанным в окружность) с рациональными сторонами и т. д. х).
*) См. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ч е н ц о в, И. М. Я г л о м, Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 1, M., 1959, задача 127.
**) См. С. И. З е т е л ь, Задачи о тупоугольном треугольнике ЛВС, у которого разность углов А и В равна 90°, сборник «Математическое просвещение», вып, 2, 1957, стр. 234 и 246; Д. О. Шклярский, Н. Н. Ч е н ц о в, И. М. Я г л о м, Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 1, M., 1959, задачи 128—129.
х) Вписанными четырехугольниками, стороны которых выражаются рациональными цифрами, занимался, например, К у м-м е р. Укажем еще статью Хентцшеля: «Задача Ньютона о вписанных четырехугольниках» (Zeitschrift fur math. u. naturw. Unter-richt 46 (1915, стр. 190). Ссылки на литературу можно найти там же на стр. 390 и след.
Наконец коснемся бегло вопроса о многогранниках с рациональными длинами сторон. Простейшим многогранником, для которого этот вопрос не является тривиальным, будет тетраэдр. Конечно, правильный тетраэдр не будет решением задачи, если помимо рациональности ребер потребовать, скажем, рациональность объема. Сразу не очевидно, существуют ли вообще такие тетраэдры. Этой проблемой занимался Ш в е р и и г. Самый изящный пример тетраэдра, удовлетворяющего нашим условиям, таков: объем тетраэдра, ребра которого равны 6, 7, 8, 9, 10 и И, равен 481). <Другой интересный пример — тетраэдр с ребрами 896, 990, 1073, 1073, 1073 и 1073 (ребра длины 896 и 990 противоположны одно другому). Этот тетраэдр имеет не только целочисленный объем 62 092 800, но и все грани его имеют целочисленные площади 436 800, 436 800, 471 240 и 471 240.>
§ 8. ТЕОРЕМА ФЕРМА*)
1. В предыдущем параграфе мы познакомились с бесчисленным множеством решений в целых положительных числах уравнения
Естественно возникает вопрос о решении аналогичных уравнений:
x*+y3=zs, я4 + /=*4,
и вообще уравнения
xn + yn=zn.
Если мы начнем искать решение какого-нибудь из этих уравнений наудачу, результат будет отрицательным. До
х) Этот результат и изложение элементарных методов вычисления площади многогранников по длинам их ребер можно найти в книжке Шверинга «100 задач по элементарной геометрии», Фрей-бург, 1908. Общее решение вопроса содержится в заметке Шверинга «Тетраэдры с рациональными сторонами» (Journal fur reine und angewandte Mathematik 115, 1895, стр. 301).
*) По поводу содержания этого параграфа см. также: А. Я. Хинчин, Великая теорема Ферма, M.—Л., 1932.
сих пор не известна ни одна тройка целых положительных чисел, удовлетворяющая какому-либо из этих уравнений (с любым сколь угодно высоким показателем степени). Поэтому можно высказать следующее предложение:
Уравнение xnjryn=z\ где п — целое число, большее 2, не имеет решений в целых числах.
Это предложение известно под названием «Великой теоремы Ферма». Пьер Ферма (1608—1665 гг.) — юрист из Тулузы (Франция) и несомненно один из величайших математиков всех времен — записал это предложение среди многих других в виде замечания на полях своего экземпляра книги греческого математика Диофанта (около 300 г. н. э.). Здесь же Ферма добавил, что у него есть поистине удивительное доказательство этого, однако за недостатком места он не может его изложить.
До сих пор никому еще не удалось полностью доказать эту теорему, поэтому правильнее было бы говорить о проблеме Ферма.
2. Эйлер (1707—1783) доказал теорему для показателя п, равного 3 и 4, а гёттингенский математик Д и р и х-л е (1805—1859) — для показателя 5, но только К у м м е р (1810—1893) при помощи созданных им методов алгебраической теории чисел сумел заметно продвинуть доказательство этой теоремы в общем виде. Нетрудно заметить, что достаточно доказать невозможность только для показателя 4 и для нечетных простых показателей3,5, 7, 11,... Действительно, если бы, скажем, уравнение
Xй+у9== Z9
имело целочисленное решение а, & и с, то и уравнение
X9+у9 = Z9
допускало бы целочисленное решение, а именно х=а2, у=Ь2ш z=c2. Куммер доказал отсутствие решений в том случае, когда показатель является так называемым «п р а-в и л ь и ы м» простым числом. К таким числам, точное определение которых трудно дать в элементарном виде, относятся, например, все простые числа, не превосходящие 100, за исключением лишь трех чисел, а именно 37,
59 и 67. Между прочим, до сих пор неизвестно, существуют ли сколь угодно большие правильные простые числа.
Куммер сумел доказать невозможность решения также для известной группы «неправильных» простых чисел, в которую входят и названные три числа. Так что уже в его время при помощи разработанных им методов теорема была доказана для всех значений показателя, не превосходящих 100.
В рамках этой небольшой книжки невозможно дать понятие о методах алгебраической теории чисел, которую развили Куммер, а позднее Гильберт, Фуртве н-г л е р ив новейшее время целая группа математиков. Но несколько слов сказать нужно: решение проблемы Ферма перенесено в расширенную числовую область и если невозможность решения будет доказана для «целых чисел» этой области, то тем самым будет доказана невозможность ее решения для целых чисел из нашей более узкой области рациональных чисел.
