Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
же дополнительно к первому доказательству присылает первое разъяснение, второе, третье. Гидра «доказательст-вомании» не была убита! И совсем, совсем редко обмен письмами заканчивается так, как это выражено в присланном мне кем-то стихотворении:
К упрямцам не принадлежу И не глупец, как сам сужу. Решал проблему.—Не сумел! Что ж, есть других немало дел. А коль докучил Вам слегка, Уж вы простите... дурака.
Нет, тот кто продвинулся так далеко, уже перестал быть глупцом!
Первое издание этой маленькой книжки, несмотря на все предостережения, также вызвало поток писем с доказательствами теоремы Ферма. Возможно, что единственная выгода, которую мы имели от инфляции в Германии, заключалась в том, что этот поток иссяк. Кто занимался этой задачей из-за денег, тот давно бросил это занятие; тому же, кто начнет заниматься этой проблемой из любви к математике, мы посоветуем направить свои усилия по другому пути, который может дать ему удовлетворение, а возможно и надежду получить собственные результаты. Можно указать целый ряд областей, например, из прикладной математики, где человеку даже без специальной подготовки найдется достаточно тем для самостоятельной работы и где можно познать радость творчества.
4. Переходя в этой маленькой книжке от теоремы Пифагора и пифагоровых чисел к теореме Ферма, мы имели в виду особую цель. Нередко высказывают мнение, что математика — это вполне законченная, застывшая наука. То, что это не так, мы только что видели. Наряду с истинами, известными человечеству две тысячи и более лет, мы встречаемся с тесно с ними связанной нерешенной проблемой, и при этом такой, содержание которой можно объяснить всякому, даже тому, кто не обладает специальными математическими знаниями.
Мы уже сообщали, что доказательство теоремы Ферма для показателей 3, 4, 5 было дано еще до Куммера. Сейчас мы собираемся привести доказательство для одного
из этих случаев, а именно, для уравнения
x*+y*=z*; (а)
оно совсем элементарно и восходит к Э й л е р у. Доказав невозможность решения уравнения (а) в целых числах х, у и z, мы тем самым исчерпаем вопрос о решении уравнения
ж4"+у4" = z4", (б)
где п — любое положительное целое число, большее единицы.
5. Прежде чем приступить к уравнению xiJryi=24,мы докажем неразрешимость (в целых положительных числах) уравнения
ИЧ(у«)'=Л (в)
Это уравнение нами написано в таком виде, который прямо указывает на связь с уравнением Пифагора. Вопрос заключается в том, существуют ли среди пифагоровых чисел такие, из которых меньшие два — полные квадраты? До сих пор подобные тройки нам не встречались; но это, конечно, еще не означает, что их вовсе нет. Числа, входящие в такие тройки, могут быть очень велики. Мы с самого начала будем, конечно, предполагать, что ищется основная тройка; производные же нас интересовать не будут — поэтому числа х, у и z можно считать взаимно простыми. Мы покажем, что уравнение (в) не имеет целочисленных решений. Это довольно тонкое доказательство; поясним его сначала одним примером. Не существует наименьшей положительной дроби. Почему? Если бы
можно было указать такую дробь - (скажем, , то всегда можно было бы указать еще меньшую дробь
(в нашем случае щ).
Мы воспользуемся этой идеей для нашего доказательства. Предположим сначала, что некоторое решение уравнения является наименьшим, затем покажем, как из него можно получить еще меньшее, и тем самым докажем, что наименьшего решения не существует; но мы ведь рассмат-
риваем только целочисленные решения и поэтому среди них какое-то должно быть наименьшим (если только решения вообще существуют!). Единственный выход из этого противоречия заключается в том, чтобы признать, что решений вовсе нет.
Нужно еще уточнить, что мы понимаем под наименьшим решением или решением в наименьших целых положительных числах. Это такое решение X1, ух, Z1, в котором Z1 имеет наименьшее возможное значение. Если же троек с наименьшим значением Z1 будет несколько, то мы выберем из них ту, в которой X1 имеет наименьшее значение и именно эту тройку будем считать наименьшей. Из этой наименьшей в указанном смысле тройки мы и будем исходить в наших рассуждениях; конечно, эта тройка будет основной.
6. Если справедливо равенство
(*?)2+(tf)2=*?,
то согласно формулам (I) — (III) п. 6 предыдущей главы числа X1, у2 и Z1 можно следующим образом выразить через нечетные взаимно простые числа и и v (где u>v):
х\ = uv, (Ia)
Vl=^ (На)
Z1 = ^P-2. (Ша)
Из равенства (Ia) мы так же, как и в § 7, п. 6, заключим, что взаимно простые числа и и v должны быть полными квадратами. Пусть, например,
и=и\, V=V2,
где U1 и V1 опять-таки должны быть нечетными взаимно простыми числами и U1^v1. Подставим теперь эти новые числа в равенство (Па); равенством (Ша) мы пока пользоваться не будем. Получим
Числа U1 и V1 заменим новыми числами. Пусть u1Jrv1 = 2u2, U1 — V1 = 2v2;
тогда
U1 = U2^V21 V1 = U2-V2.
Заметим, что в первых двух равенствах мы справа приписали множитель 2; мы имели право это сделать, так как и сумма, и разность двух нечетных чисел всегда есть четное число.
