Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
12. Диксон доказал отсутствие решений I типа для всех простых показателей, меньших 7000.
Мы проиллюстрируем ход его мыслей на одном простом рассуждении. Для этого нам потребуется вспомогательное предложение, играющее большую роль в теории чисел; это предложение также называют теоремой Ферма; иногда — быть может, и не совсем удачно —«малой
теоремой Ферма», в противоположность «Великой теореме Ферма», которой мы здесь занимаемся и которая еще ждет полного доказательства.
Пусть некоторое положительное целое число п не делится на простое число р; тогда при делении на р получается остаток, заключенный между 0 и р. Чиола 2п, Зп, in,..., (р—1)п также не делятся на р без остатка. Мы утверждаем, что остатки, которые дают эти числа при делении на р, в с е р а з л и ч и ы. В самом деле, если бы fn и gn (где, скажем, f>g) давали один и тот же остаток, то fn—gn=(f—g)n делилось бы на р без остатка. Но это невозможно, так как ни п, ни /—g не делятся на р, поскольку каждое из чисел / и g меньше, чем р, а разность их и подавно меньше р. Но это означает, что среди остатков от деления чисел п, 2п, Зп, in,..., (р—1)п на р должны встречаться все р—1 возможных остатков, т. е. числа 1, 2,..., (р—1) (мы записали их в возрастающем порядке). А это, в свою очередь, означает, что произведение
п.2п-ЗпЛп. .,(P-I)n= 1-2-3-4... (P-I)nP'1
и произведение
1-2-3-4...(/?—1)
дают при делении на родин и тот же остаток. Таким образом, разность их
1-2-3-4...(/? —1) (np-l — i)
делится на р. И так как
1•2•3•4...(P-I)
на р не делится, то должен делиться на р второй множитель
пр-1 — 1.
Другими словами: если п не делится на р,то пр~х при делении на р дает в остатке 1. Это и есть малая теорема Ферма.
Упражнение 76. Приведите числовые примеры, иллюстрирующие малую теорему Ферма.
13. Предположим теперь, что для некоторых трех чисел а, Ъ и с, не делящихся на р, справедливо равенство Ферма
аР+Ьр=ср.
Еще Л е ж а н д р выделил те из простых чисел, для которых либо д2=2р+1, либо д4=4р+1, либо д8 = 8р+1, либо gi6 = 16p+l снова будут простыми. Мы здесь будем считать, что д2=2р+1 — простое число, обозначая его в дальнейшем через д. Тогда ад~ х=а2р при делении над дает в остатке либо 0, либо +1. Какой отсюда можно сделать вывод относительно числа ар1 Это число при делении на g тоже даст в остатке либо 0 (другими словами, ар делится на д), либо +1, либо — здесь возможен еще третий случай— ар даст при делении на q такой остаток, который отличен от + 1,но квадрат которого равен +1. Если допускать и отрицательные остатки, абсолютная величина которых меньше р, то таким остатком может быть — 1.
Эти же три остатка могут получиться при делении Ър на q и ср на q. Выясним теперь, какие могут встретиться комбинации остатков. Всего здесь может быть только 6 случаев (в силу того, что а и Ъ совершенно равноправны):
Пусть ар Ър тогда ср дает остаток: дает остаток: дает остаток:
1) +1 +1 +2
2) +1 -1 О
3) +1 О +1
4) __1 __1 __2
5) -1 О -1
6) О О о
Случаи 1) и 4) отпадают, так как они приводят к таким остаткам от деления ср на д, которые не могут нам встретиться. Точно так же отпадает случай 6), так как a, b и с предполагаются взаимно простыми. Следовательно, возможны лишь случаи 2), 3) и 5), т. е. решением уравнения Ферма могут быть только такие три числа, одно из которых делится на д=2р+1.
Упражнение 77. Выясните, справедливы ли проведенные рассуждения для троек пифагоровых чисел и выведите следствие из этого рассуждения.
Если бы мы попытались распространить этот результат на другие простые числа вида q2k, то, как показывает опыт с числом д2, количество множителей, на которые должны раскладываться числа х, у, z, стало бы весьма большим. Иными словами (в случае решений типа I), не только показатели, но и основания степени должны быть непомерно большими.
Зачем мы об этом упоминаем? — Для предостережения тех, кто хотел бы ниспровергнуть теорему Ферма чисто вычислительным путем, пробуя найти противоречащий ей пример!
Нужно предостеречь также от ошибочного вывода, который можно сделать из сказанного. Конечно, было бы очень хорошо, если бы удалось доказать, что для каждого простого числа р можно найти бесконечное множество простых чисел вида q2k, на которые делится по крайней мере одно из чисел нашей тройки а, Ь, с. Тогда хотя бы одно из этих чисел содержало бы бесчисленное множество простых множителей, и не могло бы быть конечным! Но Диксон доказал, что, напротив, каждому простому числу р отвечает только конечное число простых чисел q2k, так что такой путь доказательства отсутствия решений I типа не проходит.
14. Прежде чем расстаться с теоремой Ферма, коснемся немного ее геометрического содержания.
Вернемся к тому, о чем говорилось в §7, п. 9. Разделив обе части уравнения Ферма xn-\-yn=zn на zn, мы можем придать теореме Ферма следующий вид: уравнение
не имеет решений в (положительных) рациональных числах.
На рис. 73 изображены кривые, представляющие функции
Xn+Yn = l
