Старое и новое о круге - Литцман В.
Старое и новое о круге
Автор: Литцман В.Издательство: М.:Физико-математической литературы., под редакцией Баєва А. П.
Год издания: 1960
Страницы: 59
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Скачать:
В. ЛИТЦМАН
СТАРОЕ И НОВОЕ
О КРУГЕ
Перевод с немецкого В. С. БЕРМАНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1960
MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK
REIHE I Herausgegeben von Prof, Dr.W.Lietzmann
ALTES UND NEUES VOM KREIS
Von Prof.Dr.W. Lictzmanil, Universitat Gottingen
Zweite durchgesehene Auflage MH 57 Figuren und 42 Aufgaben
BGTEUBNER VERLAGSGESELLSCHAFT LEIPZIG
1953
ПРЕДИСЛОВИЕ
J
Еще одна книга о круге, притом об его элементарных свойствах... Не слишком ли это смело и нужно ли это вообще? Ведь начиная с евклидовых «Начал» (300 лет до н. э.) изложение теории круга как по содержанию, так и по выбору способов доказательства теорем в бесчисленных учебниках всех времен и народов было настолько исчерпывающим, что кажется ни одного нового слова сюда добавить уже нельзя.
. Было бы ошибкой считать, что с евклидовых времен учение о круге остается неизменным и что изложение его во всех учебниках одинаково. Напротив, разработка этой теории продолжается и в наше время. При етом считается предпочтительным вести изложение «в одну линию», подгоняя теорему к теореме, доказательство к доказательству как звенья одной цепи и стараясь создать у читателя впечатление, что иной порядок изложения невозможен. Однако истинный дух геометрии означает нечто большее: он требует подхода к изучению геометрических образов не с одной, а с разных точек зрения, ибо только такой путь ведет к полному знанию. Поскольку это касается элементарной теории круга, которой мы ограничиваемся в етой книжке, отметим, что попытка дать подобное изложение как будто предпринималась лишь в курсе элементарной геометрии * Фладта. Но цели, которые преследовал этот курс, весьма отличны от тех, которые мы ставим себе здесь. Геометрия Фладта была написана как пособие для учителя, поэтому автор мог касаться многих вопросов совсем бегло, ограничиваясь часто одними лишь намеками. Мы же имеем в виду гораздо более широкий круг друзей геометрии.
Что касается характера изложения, то он предполагает активное сотрудничество читателя, выражающееся в решении многочисленных упражнений, и не только в ©том. Мы надеемся, что и помимо упражнений читатель найдет здесь достаточно стимулов для самостоятельной работы, ибо наша маленькая книжка не является, конечно, исчерпывающей — ведь цель и задача каждой научно-популярной книжки в первую очередь должна состоять в том, чтобы помочь читателю выйти за ее пределы.
Гёттинген, лето 1951 г,
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Первое систематическое изложение учения о круге мы находим в «Началах» Евклида. Но отнюдь не все, что содержится в этой книге, на самом деле принадлежит Евклиду. Некоторые из изложенных в «Началах» теорем приписывают, быть может не совсем обосновано, Фалесу Милетскому, который жил за 300 лет до Евклида; другие, как например теорему о правильном вписанном звездчатом пятиугольнике — пентагоне, Пифагору Самосскому, жившему за 250 лет до Евклида; наконец, такими вопросами, как квадратура круга, в доевклидово время усиленно занимались многие и многие математики.
Названные греческие ученые в свою очередь тоже, конечно, не были первыми среди тех, кто изучал круг и его свойства. Нужно считать, что с кругом как геометрическим образом человек столкнулся в самые отдаленные времена. Хижинам и сосудам — мы назовем лишь немногое из повседневного обихода человека — уже в глубокой древности задолго до изобретения гончарного круга старались придавать круговую форму. Еше одним примером может служить колесо. Переход от сплошного диска, изготовлявшегося из ствола дерева и лишь приближенно напоминавшего круг, к колесу со спицами совершился очень рано; современное колесо было знакомо египтянам и вавилонянам, также как ir предшественникам европейских народов. Такие колеса попадаются до сих пор при раскопках; еще чаще мы встречаем их на рельефных изображениях повозок, например вавилонских, где явственно видны колеса с шестью спицами, или на бесчисленных схематических рисунках на урнах каменного и бронзового веков, где встречаются большей частью четыре или
восемь спиц, обозначенных хотя и условно, но совершенно отчетливо.
Если обратиться теперь к вопросу о правильных многоугольниках и о делении окружности на равные части, то чаще всего мы встречаемся с этим на орнаментах. Различают два типа правильных звездчатых орнаментов-розеток, смотря по тому, обладают ли фигуры, из которых составлен рисунок, осевой симметрией или нет. Среди розеток первого типа трехлепестковые встречаются редко, четырехлепестковые же очень часто; розетки с пятью, а тем более с семью или девятью лепестками, естественно, также попадаются весьма редко, тогда как шести- и особенно восьмилепестковые розетки можно встретить довольно часто. Розетки второго типа не обладают осевой симметрией, они напоминают лопасти турбины; их иногда называют спиральными розетками. Помимо часто встречающихся трехлепестковых и четырехлепестковых розеток этого типа, попадаются пяти- и шестилепестковые, а также очень красивые семи-лепестковые, составленные из спиралей, затем восьмилепестковые и т. д.
