Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что при создании этих предметов обихода (сосуд, колесо и др.) или деталей украшений (орнаменты), имеющих в своей основе окружность (с ними можно познакомиться во многих музеях, например среди коллекций, относящихся к различным эпохам истории Египта), не использовалась никакая теория геометрических построений, хотя циркуль очень рано приобрел современный вид.
В древние времена были, конечно, известны и другие способы построения окружности без применения циркуля. Нередко такие задачи о построении окружности, диктуемые чисто практическими потребностями или художественными целями, приводили к открытиям, имевшим научное значение. Начиная от Геродота и до наших дней, историки отмечали, что задачи измерения земельных участков и изготовления предметов обихода явились одним из источников геометрии. То же обстоятельство, что орнаментика, т. е. чисто художественная деятельность, не вызывающаяся непосредственной практической потребностью, явилась важным началом геометрии, было по-настоящему осознано только в наши дни.
Проиллюстрируем сказанное только двумя примерами-
6
В старейшем математическом труде древности, так называемом папирусе Ринда, написанном египетским писцом Ахмесом, приводится значение числа и, точность которого превосходит многие приближенные значения позднейших времен:
Следует полагать, что это значение не могло быть получено теоретическим путем, а было найдено как-то практически.
Второй пример относится ко времени, когда в орнаментике только начала появляться окружность: на золотых пластинках эпохи Микенской культуры (второе тысячелетие до н. э.)> мы встречаем изображение окружности, вокруг которой расположены еще шесть окружностей, равных ей и касающихся друг друга.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУГА И ОКРУЖНОСТИ
1. Обычное определение круга в том виде, в каком его дал Евклид, гласит: круг есть плоская фигура, ограниченная линией, обладающей тем свойством, что все отрезки, соединяющие некоторую точку, расположенную внутри фигуры с точками этой линии, равны друг другу. (Эту линию называют окружностью.) Таким образом, в основу здесь положено равенство радиусов, т. е. отрезков, соединяющих центр с точками окружности. Достоин удивления тот факт, что определенное название этим важным отрезкам было дано значительно позже; ни Евклид, ни многие математики более позднего времени не употребляли для них никакого специального термина. Изучая круг, не следует смешивать два понятия: собственно круг и окружность, которая является его границей. Так, можно говорить о площади круга или о пересечении прямой с окружностью1).
!) В некоторых языках, например в немецком, во всех случаях, где это не может привести к явному недоразумению, пользуются одним словом (Kreis), объединяющим оба эти понятия, не указывая точно, идет ли в тексте речь об окружности или о круге. Подобно тому, как в русском языке под словом «многоугольник» понимают одновременно и замкнутую ломаную, и ограниченную этой ломаной часть плошади.
7
Дадим еще некоторые определения, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Что называют дугою окружности, понятно без всякого объяснения. Кордой называют отрезок прямой, соединяющий две точки окружности; сегментом — часть круга, отсекаемую от него хордой; сектором — часть круга, ограниченную двумя радиусами и дугой окружности.
2. Способ построения окружности непосредственно вытекает из ее определения: если вращать на плоскости отрезок вокруг одного из его концов, то другой конец
опишет окружность. Практически это можно осуществить при помощи туго натянутой бечевки (так поступают, например, при разбивке клумб) или стержня с соответствующими приспособлениями (рис. 1), или, наконец, с помощью циркуля.
3. Окружность как замкнутая фигура. Первое свойство окружности, которое мы собираемся выделить, хотя оно и совершенно очевидно,-—это ее замкнутость. Именно на этом ее свойстве основано определение круга: окружность делит плоскость на две части, причем внутренняя есть круг. Для того чтобы соединить линией какую-нибудь внутреннюю точку круга с точкой вне его, нужно по меньшей мере один раз пересечь окружность. Мы будем считать этот факт очевидным и примем его без доказательства, хотя для математика это утверждение отнюдь не является само собой разумеющимся. Мне приходит на память смешная шутка, в которой рассказывается об одном пьянице, обошедшем во-
8
круг полую колонну и с огорчением констатировавшем: «замурован». Он определенно знал, что окружность —¦ это замкнутая кривая, однако отличить внутреннюю часть от внешней уже не смог.
4. Окружность как выпуклая фигура. Для того чтобы установить, является ли данная линия окружностью или нет, конечно, недостаточно проверить, замкнута ли она. Нужно еще потребовать, например, чтобы эта линия была выпуклой. Так как в обиходе про дугу окружности говорят, что она выпукла, если смотреть на нее извне, и эту же дугу называют вогнутой, если рассматривать ее изнутри, то мы прежде всего установим, что следует здесь понимать под словом «выпуклая». Ранее мы говорили о хорде окружности. Хордой произвольной замкнутой линии мы будем называть отрезок прямой, начальная и конечная точки которого лежат на этой линии. Замкнутую линию мы будем называть выпуклой, если все точки любой ее хорды являются либо внутренними, либо граничными точками ограниченной линией фигуры, и ни одна точка не лежит вне линии. То что окружность — выпуклая линия, мы опять-таки будем считать очевидным, однако тут же заметим, что окружность отнюдь не единственная такая линия. Эллипс—¦ также выпуклая линия. Линия, описываемая Луной при движении вокруг Солнца, — также выпуклая, хотя на
