Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
10- Треугольники вместо трапеций. Вместо того, чтобы делить круг на трапеции, можно разбить его на треугольники; для отого нужно каждые две соседние рациональные точки окружности соединить с центром, а в качестве третьей стороны взять соединяющую их хорду. Пусть, например, х\, у\ и X2, у2 две такие точки на окружности; тогда, как это следует прямо из чертежа, площадь треугольника выразится формулой
fi.2 = i [хіУі + — *і) (Уі + У 2) — *2У2І = \ (*2Уі - *^?)-
Конечно, если хотят получить не только нижнюю границу, но и верхнюю, то помимо вписанной ломаной, составленной из хорд, нужно еще рассмотреть соответствующую описанную ломаную, составленную из отрезков касательных. При этом можно убедиться, что. пользуясь даже такими неправильными вписанными и описанными многоугольниками, мы получаем как общий предел окружность, если только число рациональных точек неограниченно увеличи-
вается. Соответствующие вычисления, как для вписанных, так и для описанных ломаных, не встречают принципиальных затруднений.
11. Еще один метод. Использование рацио-
нальных точек окружности открывает . самые Рис- 51. разнообразные возможности для вычисления тг помимо способа, основанного на вписывании ломаных. В заключение мы познакомимся еще с одним способом, в котором на первом плане стоят описанные ломаные. Разделим радиус OB (рис. 51) на п равных частей. Пусть Bk и Ви±х две соседние точки. Таким образом, если круг — единичный,
то BkBk+i = ~~r. Пусть, далее, прямая АВк пересекает
4*
51
окружность в точке Pkt а АВк+1 —в Рк+1. Точку пересечения касательных, проведенных к окружности в точках Pk и Pfi+u обозначим через Тк. Вычислим теперь площадь Fk четырехугольника ОРкТкРк+1, Так как Pft7,ft = PftHirft, то этот четырехугольник составлен из двух равных и кроме того прямоугольных треугольников ОРкТк и ОРк+1Тк. Положив PkTk = Рк+1Тк = xt мы получим для площади Fk четырехугольника то же самое значение х.
По теореме о вписанном угле ZPkOTk = ZPkAPk+v Рассмотрим теперь еще треугольник ABfcBk+l, один из углов которого равен углу РкОТк. Вследствие предложения о том, что площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол, мы с одной стороны имеем:
АОРЛ _ ОТк.\
/\АВкВк+1 АВк-АВк + і •
а с другой
&OPkTk _ X
Здесь
&АВкВк+1 1_
п
пх.
OTk = V\+x\ ABh = }f !+(If.
Подставляя эти значения в первое выражение, получим:
;="гУ та
&АВкВк+1 Г (п2 -f- k2) [п2 -{- (? -f- I)2] •
Приравняем теперь оба выражения и, чтобы избавиться от радикалов, возведем обе части равенства в квадрат. Тогда получим:
2 2 __ П*(\+Х2)
ПХ ~ (Л* ++ 1)4 .
или, после упрощений,
52
Извлекая корень, получим
__п_
х~ n* + k(k + l) *
Таким образом, для площади рассматриваемого четырехугольника мы получили рациональное значение
F — п
Если по этой формуле вычислить площадь описанного многоугольника, полагая п = 10, k = 0; 1;...; 9, то получим значение тг ^ 3,149.
Не составляет большого труда вычислить площадь соответствующего вписанного четырехугольника. Затем можно оценить разность между площадями описанного и вписанного многоугольников и показать, что при увеличении числа сторон обе площади неограниченно стремятся к общему пределу.
12, В этом параграфе, как, впрочем, повсюду в этой маленькой книжке, мы ограничивались элементарными методами геометрии и арифметики, причем для доказательств привлекались весьма немногие теоремы из теории площадей, теории подобия или теории уравнений. Но и здесь обнаруживается, насколько тесной оказывается связь между элементарными методами и теми методами, которые применяются в самых сложных разделах математики. Тот, кто задумывался над однотипностью построения рекуррентных формул в наших первых четырех методах вычисления тг, возможно пытался отыскать объединяющую их идею. И действительно, она обнаруживается сразу, как только в рассуждениях появляется тригонометрия.
Далее может возникнуть вопрос, можно ли, начав с конечного числа многоугольников, впоследствии строго обосновать предельный переход? Развивая эту мысль, мы столкнулись бы с так называемыми бесконечными произведениями или бесконечными рядами, т. е. с выражениями, содержащими неограниченно возрастающее число сомножителей или слагаемых. Именно здесь проходил путь, который привел к полному решению задачи и которым следовали (сначала более интуитивно) такие математики как, например, В и е т а, а затем и другие,
53
выдвигая все более строгие требования к формулировкам определений и к проведению доказательств.
Однако несмотря на то, что появились более сильные методы, совсем не утратили своей привлекательности элементарные методы, как, например, те, которые описаны в этой книжке; напротив, можно констатировать, что в работах по теории круга, появившихся в последние годы, даже в этой области простейших основных понятий раскрылись новые стороны вопроса. И уже никоим образом не следует, что усиленные занятия этой древней проблемой должны были бы к нынешнему времени полностью ее исчерпать.
